Calculul valorilor si vectorilor proprii

456 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
Pasul 1 ◦ . În cadrul pasului iniţial vom anula elementele A(3:n,1) din prima
coloană a matricei A, în ordinea n:−1:3, prin transformări unitare de echivalenţă
definite de două secvenţe de rotaţii (complexe) conform schemei de calcul
HT-1
1. Pentru i = n:−1:3
1. Se determină rotaţia Q (1)
i−1,i astfel încât ((Q(1) i−1,i )H A)(i,1) = 0
2. A ← (Q (1)
i−1,i )H A
3. B ← (Q (1)
i−1,i )H B % Se alterează zeroul din poziţia (i,i−1) a
matricei superior triunghiulare B
4. Q ← QQ (1)
i−1,i
5. Se determină rotaţia Z (1)
i−1,i
6. A ← AZ (1)
i−1,i
7. B ← BZ (1)
i−1,i
8. Z ← ZZ (1)
i−1,i
astfel încât (BZ(1) i−1,i )(i,i−1) = 0
Întrucât premultiplicarea unei matrice cu o rotaţie din planul (i−1,i) afectează numai
liniile i−1şi i, execuţia instrucţiunii 1.3 areca efect o posibilă alterare 8 a structurii
superior triunghiulare a matricei B prin alterarea zeroului din poziţia (i,i−1).
Refacerea structurii superior triunghiulare a lui B se realizează la instrucţiunea 1.6
prin postmultiplicarea matricei B cu o rotaţie calculată corespunzător la instrucţiunea
1.5. Postmultiplicarea cu o rotaţie plană din planul (i−1,i), afectând numai
coloanele i−1 şi i, nu are nici un efect (întrucât i > 2) asupra zerourilor create în
prima coloană a matricei A 9 . În acest fel, pe măsura creării zerourilor din prima
coloană a lui A, elementul alterant al structurii superior triunghiulare a lui B se
deplasează pe o traiectorie subdiagonală ascendentă până la părăsirea matricei din
poziţia(3,2)dupăcumsepoatevedeaşidinurmătoareaexemplificarepentrun = 4.
În diagramele structurale de mai jos zeroul nou creat a fost marcat cu ∅, elementul
alterant cu +, iar încadrările indică liniile şi coloanele afectate la pasul respectiv.
⎡
(A,B) = ( ⎢
⎣
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
⎢
⎣
× × × ×
0 × × ×
0 0 × ×
0 0 0 ×
⎤
⎥
⎦ ),
(A,B) ← ((Q (1)
34 )H A,(Q (1)
34 )H B) = ( ⎢
⎣
⎡
× × × ×
× × × ×
× × × ×
∅ × × ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× × × ×
0 × × ×
0 0 × ×
0 0 + ×
⎤
⎥
⎦ ),
8 Alterarea are efectiv loc dacă elementul diagonal (i−1,i−1) al matricei curente B este nenul,
care este cazul obişnuit.
9 De observat că încercarea de anulare a elementului (2,1) a lui A este sortită eşecului întrucât
postmultiplicarea cu rotaţia Z (1)
1,2 poate altera toate zerourile create în prima coloană.