Calculul valorilor si vectorilor proprii

332 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
⎡
= det
⎢
⎣
T [k−2] −λI k−2 . .
0 0
g k−2 0
0 ··· g k−2
0 ··· 0
f k−1 −λ g k−1
g k−1 f k −λ
⎤
, (4.302)
⎥
⎦
relaţie din care, prin dezvoltare după elementele ultimei linii sau ultimei coloane,
obţinem
p k (λ) = (f k −λ)p k−1 (λ)−g 2 k−1 p k−2(λ). (4.303)
Relaţia (4.303), împreună cu iniţializările p 0 (λ) = 1, p 1 (λ) = f 1 − λ din (4.301),
permit calculul recurent al polinoamelor p k (λ), k=2:n, şi, pentru o valoare fixată µ
a lui λ, valorile acestorpolinoame în punctul µ. Polinoamelep k (λ), k=0:n, definite
mai sus, formează aşa numitul şir Sturm asociat matricei tridiagonale simetrice
ireductibile T.
Notăm cu λ [k]
i , i = 1 : k, valorile proprii ale matricei T [k] (care sunt, simultan,
zerourile polinoamelor p k (λ)) pe care le vom presupune ordonate crescător, i.e. 54
λ [k]
1 < λ [k]
2 < ... < λ [k]
k . (4.304)
Metoda bisecţiei are la bază următoarele rezultate clasice.
Teorema 4.20 Dacă vectorul g are toate elementele nenule, i.e. matricea tridiagonală,
simetrică T, definită de vectorii f şi g, este ireductibilă, atunci valorile
proprii ale matricei T [k−1] separă strict valorile proprii ale matricei T [k] , i.e.
λ [k]
1 < λ [k−1]
1 < λ [k]
2 < λ [k−1]
2 < ... < λ [k]
k−1 < λ[k−1] k−1 < λ[k] k
(4.305)
pentru toţi k ∈ 2 : n.
Demonstraţie. Conform teoremei 4.5 inegalităţile (4.305) au loc într-o formă
nestrictă. Vom arăta că, în condiţiile teoremei, egalităţile nu pot avea loc. Presupunem,
prin absurd, că există i astfel încât λ [k]
i = λ [k−1] def
i = γ sau λ [k−1]
i =
= λ [k] def
i+1
= γ. În ambele cazuri polinoamele p k şi p k−1 au pe γ rădăcină comună.
Cum toţi g j sunt nenuli, din relaţiile de recurenţă (4.303)rezultăp k (γ) = p k−1 (γ) =
= ... = p 1 (γ) = p 0 (γ) = 0 ceea ce este în contradicţie cu faptul că p 0 (γ) = 1. ✸
Teorema 4.21 Numărul valorilor proprii ale matricei tridiagonale, simetrice, ireductibile
T ∈ IR n×n , mai mici decât un număr fixat µ ∈ IR este egal cu numărul
ν(µ) al schimbărilor de semn din mulţimea numerică ordonată 55
p(µ) = {p 0 (µ), p 1 (µ), ..., p n (µ)}, (4.306)
unde p k (λ), k = 0 : n, este şirul Sturm asociat matricei T.
54 O matrice tridiagonală simetrică ireductibilă nu are valori proprii multiple (exerciţiul 4.63).
Evident, dacă T este ireductibilă, atunci toate submatricele T [k] sunt ireductibile.
55 În cazurile în care unele din elementele mulţimii sunt nule (fapt puţin probabil în calculele
efectuate într-o aritmetică aproximativă), convenim că o pereche ordonată (γ,δ) se consideră
schimbare de semn dacă γ ≠ 0, δ = 0 şi nu se consideră schimbare de semn dacă γ = 0, δ ≠ 0.
Într-un astfel de caz ν(µ) este numărul de valori proprii mai mici sau egale cu µ. Două zerouri
consecutive în secvenţa numerică p(µ) nu sunt posibile.