Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 239
4.4 Algoritmul QR
Algoritmul QR este, în esenţă, o procedură de deflaţie iterativă care construieşte
(recurent)unşirdematriceunitarasemeneacu matriceainiţială, şircare, încondiţii
precizate,esteconvergentcătreformaSchur. Încazulrealsepoateimpuneutilizarea
exclusivă a aritmeticii reale. În această situaţie termenii şirului sunt matrice ortogonal
asemenea, iar limita sa este o formă Schur reală a matricei iniţiale.
În vederea minimizării efortului de calcul, într-o fază preliminară, matricea dată
este adusă, prin transformări de asemănare ce implică un număr (teoretic) finit
şi (practic) rezonabil de mic de operaţii, la cea mai apropiată structură posibilă
de forma Schur (reală). Această structură este forma superior Hessenberg 14 . În
continuare, structura Hessenberg este conservată de recurenţa fazei iterative a algoritmului.
În acest fel, se obţine o importantă reducere a complexităţii unei iteraţii
QR, fapt esenţial în economia algoritmului.
Performanţele deosebite ale algoritmului QR se explică atât prin deciziile teoretice
– cum sunt cele referitoare la maximizarea vitezei de convergenţă – cât şi
prin numeroase decizii ”tehnice” de gestionare structurală optimă pe parcursul
desfăşurării calculului.
În vederea unei prezentări mai clare şi mai concise a algoritmilor din această
secţiune vom folosi o serie de proceduri dezvoltate în capitolul 3. Sintaxa utilizată
şi o descriere succintă a acestor proceduri sunt date în tabelul 4.3 15 . Precizăm
că, dacă în apelul acestor proceduri, unii dintre parametrii de ieşire au acelaşi
nume cu unii dintre parametrii de intrare, atunci suprascrierea are loc în interiorul
procedurii respective, cu efecte benefice corespunzătoare pentru economia spaţiului
de memorie necesar. De asemenea, pentru a crea posibilitatea unor comparaţii
corecte a complexităţilor, numărul asimptotic de operaţii aritmetice dat în tabel
este cel corespunzător operaţiilor cu numere reale 16 .
14 Reamintim că matricea H ∈ IC n×n este în formă superior Hessenberg dacă h ij = 0, ∀i > j+1.
15 Atragem atenţia că, din dorinţa de a prezenta cât mai unitar şi mai limpede algoritmii
din capitolele 4, 5 şi 6, procedurile din tabelul 4.3 au denumirile şi sintaxele posibil diferite de
cele introduse în capitolul 3. Evident, pentru o implementare performantă a acestor proceduri
(acurateţe maximă, memorare optimă etc.) vor fi urmate recomandările date în capitolul 3. Facem,
de asemenea, precizarea că reflectorii complecşi utilizaţi în algoritmii din capitolele 4, 5 şi 6 sunt, în
exclusivitate, reflectori hermitici. Acolo unde utilizarea reflectorilor nehermitici oferă o alternativă
de calcul viabilă (cum este cazul unor algoritmi din capitolul 5), versiunile respective fac obiectul
unor exerciţii.
16 În cadrul algoritmilor care operează cu numere complexe evaluarea numărului asimptotic de
operaţii aritmetice s-a realizat cu următoarele corespondenţe:
Operaţie cu numere complexe Operaţii cu numere reale
adunare/scădere 2
înmulţire 6
împărţire 11.
Totuşi, chiar cu acceptarea aritmeticii complexe, acolo unde economia de efort de calcul este evidentă,
evaluarea s-a făcut considerându-se că s-au utilizat explicit operaţiile aritmetice cu numere
reale. Astfel, de exemplu, pentru un vector x ∈ IC n , ‖x‖ 2 2 se calculează cu expresia ‖x‖2 2 =
= ‖Rex‖ 2 2 + ‖Imx‖2 2 şi nu folosind ‖x‖2 2 = xH x = ∑ n
i=1 ¯x ix i , realizându-se un efort de 4n flopi
în loc de 7n flopi. Precizăm, de asemenea, că evaluările numărului de operaţii nu includ operaţii
conexe cum ar fi scalarea.