História da Filosofia – Volume 1 - Charlezine

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Sexta parte - As escolus filo~6ficus dn em helenisticn
mentos, cuja base conceitual resistiu prati-
camente at6 o sCculo XIX. N2o sabemos
quase nada da vida de Euclides. Todos os
dados em nosso poder levam-nos a situar o
ipice de sua vida em torno do ano de 300
a.C. (as datas de 330-277 a.C. para sua vida
s2o convencionalmente assumidas como
proviveis).
Outras obras euclidianas (0s Dados, a
Otica e Sobre as divis6es, que nos chegaram
em versijes irabes) tambCm se conservaram,
mas s20 obras menos significativas. Se C ver-
dadeiro um episodio relatado por Proclo,
seu cariter torna-se perfeitamente ilumina-
do: como o rei Ptolomeu lhe perguntara se
n2o havia um caminho mais simples para
introduzir as pessoas na matematica, Eucli-
des respondeu que "ngo hi caminhos rigios
nas matemiticas".
EQ A estrutura met0dol6~ica
dos "Elementos" de Cuclides
0 procedimento dos Elementos i o do
discurso axiomatico, ou seja, o procedimento
segundo o qual, postas certas coisas, seguemse
necessariamente outras, estruturalmente
concatenadas. Nessa obra encontramos em
operaq20, de mod0 preciso, as estruturas da
deduq2o proprias da logica aristotClica, assim
como sua base teoritica geral. Como a base
da logica aristotilica prev: precisamente definiqijes,
principios ou axiomas comuns, e
postulados especificos para cada cihcia, os
Elementos de Euclides apresentam urna sCrie
de definigoes, cinco postulados e os axiomas
comuns. As definiqijes calibram os termos
que entram no discurso; os axiomas
comuns sao especificaqijes do principio da
n2o-contradi~ao, sobre o qual, segundo Aristoteles,
nos devemos basear para desenvolvei
qualquer discurso 16gico; os "postulados"
s2o afirmaqijes de base, de carater fundamentalmente
intuitivo (e, portanto, afirmaqijes
imediatas, ou seja, n2o demonstriveis
e nio mediiveis), que constituem o proprio
substrato da exposiqso. Como 6 sabido, o
quinto postulado provocou inumeros problemas
e foi na tentativa de resolv&los que
nasceram as geometrias nHo-euclidianas.
Mas, como falaremos disso a seu tempo, n2o
entraremos aqui nos detalhes das questijes
relativas aos postulados.
Destacar porim que, em seus procedimentos
argumentativos, Euclides usa
freqiientemente o mitodo da "redug20 ao
absurdo", que outra coisa n2o i sen20 o
cilebre "elenco", portador de gloriosa his-
toria, que inicia inclusive a Escola eleiitica,
particularmente os cilebres argumentos de
Zenao, prosseguindo depois com Gorgias
e a dialitica socratica, com Plat20 e Arist6-
teles.
Juntamente com esse mitodo, Euclides
tambtm usa aquele que, mais tarde, seria
chamado "mitodo da exaustio", aplicado
sobretudo nos ultimos livros, mas que tem
no dCcimo livro a sua primeira formulaq20
paradigmatica: "Tomando-se como dadas
duas grandezas desiguais, se se subtrai da
maior urna grandeza maior do que a metade,
parte restante outra grandeza maior
do que a metade e assim sucessivamente,
restara urna grandeza que seri menor do
que a grandeza menor tomada." 0 exemplo
que se costuma apresentar para esclarecer
de mod0 intuitivo essa proposiq20 i
o seguinte: seja A a gandeza maior, por
exemplo um circulo, e B a grandeza menor;
agora, subtraiamos ao circulo urna
grandeza maior do que a sua metade, por
exemplo, inscrevendo no circulo um quadrado
(e, portanto, subtraindo da irea do
circulo a irea do quadrado); depois prosseguimos,
subtraindo a parte restante outra
grandeza maior do que a metade, por
exemplo, bissectando os arcos determinados
do lado do quadrado e assim obtendo
um octagon0 (que subtrairemos da Area do
circulo); assim procedendo, por bissecg50,
obteremos pouco a pouco um poligono que
tende a aproximar-se cada vez mais do circulo
e, portanto, urna grandeza tal que,
subtraida a do circulo, torna-se menor do
que a grandeza B dada, qualquer que esta
seja. Assim, por esse caminho, i sempre
possivel encontrar urna grandeza sempre
menor do que qualquer grandeza dada, por
menor que ela seja, porque n2o existe urna
grandeza minima.
A. Frajese, a este proposito, recordou
justamente Anaxigoras, que sustentava que
hi sempre um menor do que o menor (divisibilidade
ao infinito das homeomerias), assim
como tambim hi sempre um maior em
relaqzo a qualquer coisa grande. Portanto,
em Anaxagoras encontra-se um antecedente
desse mitodo.
Muitas vezes discutiu-se sobre a "originalidade"
do conteudo desses Elementos.
Esti fora de d~vida que Euclides recuperou