Untitled - vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich
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9.2 Selektive Elimination von Harmonischen 173<br />
Mit Hilfe <strong>der</strong> q Schaltwinkel können q Gleichungen aufgestellt und gelöst werden. Neben<br />
<strong>der</strong> Festlegung des Modulationsgrades sind q-1 Harmonische eliminierbar.<br />
Auflösung des Gleichungssystems: Das tr<strong>an</strong>szendente Gleichungssystem (9.4) lässt sich<br />
nur mit numerischen Methoden auflösen. Es wird <strong>an</strong> dieser Stelle eine kurze Beschreibung<br />
des Lösungsweges gegeben. Mehr über die Lösungsmethoden sind in Fachbüchern<br />
für Ingenieurmathematik zu finden, z.B. [Dir1], [Ham1].<br />
Verwendet wird meistens das Newton-Verfahren. Es basiert auf einer Linearisierung<br />
des Funktionsvektors F(α 1...α q) für einen gegebenen Satz Anf<strong>an</strong>gswinkel α 1,0 bis α q,0:<br />
F( α1…αq) ≈ F( α10 , …αq, 0)<br />
+ gradF( α1, 0…αq,<br />
0)Δα<br />
mit<br />
gradF( α1, 0…αq,<br />
0)<br />
∂F1 -------- …<br />
∂α1 ∂F1 --------<br />
∂αq … … …<br />
∂Fq -------- …<br />
∂α1 ∂F =<br />
q<br />
--------<br />
∂αq , Δα =<br />
α1 – α1, 0<br />
…<br />
αq – aq, 0<br />
(9.5)<br />
Der Gradient gradF( α10 , …αq, 0)<br />
beschreibt die partiellen Ableitungen <strong>der</strong> zu eliminierenden<br />
Harmonischen nach den einzelnen Schaltwinkeln. Er lässt sich beim vorliegenden<br />
Problem <strong>an</strong>alytisch berechnen. Anstelle des nichtlinearen Gleichungssystems<br />
(9.4) tritt so das lineare System (9.6), welches mit den Methoden <strong>der</strong> linearen Algebra gelöst<br />
werden k<strong>an</strong>n:<br />
F( α1, 0…αq,<br />
0)<br />
+ gradF( α10 , …αq, 0)Δα<br />
= 0<br />
⇒<br />
α1, 1<br />
…<br />
αq, 1<br />
[ gradF( α1, 0…αq,<br />
0)<br />
] 1 – =<br />
–<br />
F( α1, 0…αq,<br />
0)<br />
+<br />
α10 ,<br />
…<br />
αq, 0<br />
(9.6)<br />
(9.7)<br />
Allerdings sind die Lösungswinkel α 1,1 bis α q,1 aus (9.7) noch nicht die Lösungen des ursprünglichen<br />
Systems (9.4). Sie liegen jedoch näher bei diesen als die Anf<strong>an</strong>gswinkel α 1,0<br />
bis α q,0 . Die richtigen Lösungen lassen sich bestimmen, indem iterativ jeweils die Lösungswinkel<br />
aus (9.7) wie<strong>der</strong> als Anf<strong>an</strong>gswinkel in (9.6) eingesetzt werden. Unterscheiden<br />
sich schliesslich die beiden Winkelsätze um weniger als die verl<strong>an</strong>gte Genauigkeit,<br />
so ist das endgültige Pulsmuster gefunden. Am Beispiel einer einzelnen Gleichung F(x)=0<br />
mit einer Variablen ist das Newton-Verfahren in Bild 9.6 graphisch illustriert. Die beschriebene<br />
Berechnung <strong>der</strong> Schaltwinkel erfolgt auf dieselbe Weise, jedoch in einem<br />
durch die q Schaltwinkel aufgesp<strong>an</strong>nten q-dimensionalen Raum.<br />
Während <strong>der</strong> gesamten Prozedur müssen die Schaltwinkel je<strong>der</strong>zeit im Intervall [0,π/2]<br />
bleiben und dürfen ihre Reihenfolge nicht verän<strong>der</strong>n. An<strong>der</strong>nfalls würde das Pulsmuster<br />
seine physikalische Realität verlieren. Diese R<strong>an</strong>dbedingungen lassen sich gemäss (9.8)<br />
als Ungleichungen formulieren:
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