Untitled - vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich

52 3 Leistungskreis von Frequenzumrichtern mit selbstgeführten Stromrichtern
eine weitere Resonanzstelle. Diese liegt üblicherweise in der Nähe von ω 1 . Ohne geeignete
Regelung kann sie zur Instabilität führen [Jen1].
3.2.7 Stromverdrängung
Alle bisherigen Betrachtungen wurden unter der Annahme gemacht, dass die auftretenden
ohmschen Widerstände unabhängig von der Frequenz konstant sind. Dieser Ansatz ist
nicht immer zulässig. Der Effekt der Stromverdrängung (Skineffekt) sorgt dafür, dass sich
der Strom in einem Leiter mit zunehmender Frequenz ungleichmässig auf den Querschnitt
verteilt. Es ergibt sich damit ein grösserer wirksamer Widerstand. Bild 3.20 zeigt qualitativ
die Stromdichte j in einem zylindrischen Leiter bei Belastung mit Wechselstrom. Sie
δ
r
ist an der Aussenseite des Leiters am grössten. Näherungsweise kann angenommen werden,
der ganze Strom fliesse gleichmässig verteilt mit der Oberflächenstromdichte in
einem Rohr mit der Wanddicke δ (entsprechend der im Bild grau eingezeichneten Flächen).
δ wird als Eindringtiefe bezeichnet und lässt sich nach der Formel (3.46) bestimmen:
δ
j(r)
j
D
R
(δ > D/2) δ < D/2
ρ
= ---------------- für δ
πμ0μrf D
<
---
2
mit ρ spezifischer Widerstand des Leiters (ρKupfer =1.75x10-8Ωm) μr magnetische Permeabilität des Leiters (μr,Kupfer =1)
μ 0 magnetische Feldkonstante (4πx10 -7 VsA -1 m -1 )
f Frequenz des angelegten Wechselstromes
(3.46)
Die Formel ist verwendbar, sofern die Eindringtiefe kleiner als der Leiterradius D/2 ist.
Andernfalls wird mit gleichmässig über die gesamte Fläche verteiltem Strom gerechnet
(δ=D/2). Der wirksame Widerstand ist umgekehrt proportional zur genutzten Fläche und
damit für kleine Eindringtiefen auch zu δ. Sein Verlauf als Funktion der Frequenz ist in
Bild 3.20 rechts dargestellt. Als Beispiel sind nachfolgend die Eindringtiefen für einen
Kupferleiter bei 3 verschiedenen Frequenzen angegeben:
δ Kupfer (50Hz)=9.4mm, δ Kupfer (500Hz)=3.0mm, δ Kupfer (5kHz)=0.94mm
∼
f
f
Bild 3.20.
Stromverdrängung in einem geraden
zylindrischen Leiter,
links: Stromdichte j als Funktion
des Radius und Eindringtiefe
δ,
rechts: wirksamer Widerstand
als Funktion der Frequenz