Untitled - vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich

B.2 Fourierreihe 361
sengrössen sind gleichtaktfrei und mit den ursprünglichen Funktionen identisch, wenn diese
ebenfalls gleichtaktfrei waren. Da sich die Mittelpunkt- und die Phasenspannungen
bei symmetrischer Last nur in der Gleichtaktkomponente unterscheiden, werden sie in
diesem Fall durch den gleichen Drehzeiger repräsentiert.
Festzeiger, dq-Darstellung: Der Drehzeiger in αβ-Darstellung wird gemäss Bild B.3 in
ein mit der Kreisfrequenz ω 1 drehendes Koordinatensystem mit den Achsen d und q trans-
β
q uβ uq ϕ u
uα
ω 1
formiert. Den neuen Festzeiger u erhält man mit den folgenden Transformationsgleichungen
aus dem Drehzeiger u:
u
˜
(B.18)
Da ω1 der Kreisfrequenz der Spannungen uU, uV und uW bzw. der Drehgeschwindigkeit
des Drehzeigers u entspricht, ist u für symmetrische und sinusförmige Spannungen ein
stillstehender Zeiger konstanter Länge. Die Festzeigerdarstellung eignet sich besonders
gut für komplexe Regelalgorithmen. Anwendungsbeispiele sind die feldorientierte Regelung
einer Maschine oder die getrennte Regelung der Wirk- und Blindleistung eines
Stromrichters am Netz.
B.2 Fourierreihe
B.2.1 Periodische Signale
u
u d
d
α
q
u q
ϕ u
u d
ud cos( ω1t ) sin(
ω1t) = =
u =
uq – sin(
ω1t ) cos(
ω1t )
u
˜
d
Bild B.3.
Festzeiger in dq-Darstellung,
links: mit ω 1 drehendes dq-Koordinatensystem
in αβ-Darstellung,
rechts: Spannungszeiger in dq-Darstellung
cos( ω1t) sin(
ω1t )
– sin(
ω1t) cos(
ω1t) Ein periodisches Signal x(t) mit der Grundperiode T 1 =1/f 1 =2π/ω 1 kann als Fourierreihe
dargestellt werden. Die Fourierreihe ist eine unendliche Summe von Cosinus- und Sinusfunktionen,
deren Kreisfrequenzen geradzahlige Vielfache von ω 1 sind:
∞
xt () = a0 + ∑ [ aν cos( νω1t) + bν sin(
νω1t) ],
ν = 1
ω1 = 2πf1 =
2π
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T1 (B.19)
Der zusätzliche Summand a0 beschreibt den linearen Mittelwert von x(t), d.h. die DC-
Komponente. Die Fourierkoeffizienten a0 , aν und bν lassen sich mit (B.20), (B.21) und
u α
u β