Untitled - vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich

360 B Verwendete Grundlagen
uU uV uW û
β
uβ u(t)
b
β
uW u(t)
ϕ0 2π
ω1t ω1t ϕ0 uα u(t=0)
α
uV c
uU α a
Bild B.2. Darstellung von dreiphasigen Grössen als Phasengrössen und als Drehzeiger,
links: Phasengrössen, mitte: Drehzeiger,
rechts: Beziehung zwischen dem Drehzeiger und den Phasengrössen
den Phasengrössen die α- und β-Komponenten des Zeigers u bestimmt werden. Mit dem
Faktor 2/3 wird die Zeigerlänge so skaliert, dass sie bei einem symmetrischen System der
Spannungsamplitude entspricht (|u|=û U/V/W ). Für symmetrische und sinusförmige Spannungen
im stationären Zustand weist der Drehzeiger eine konstante Länge auf und rotiert
in der komplexen αβ-Ebene gleichförmig mit der Kreisfrequenz ω 1 .
u
=
u α
u β
=
2
--
3
1
0
1
– --
2
3
------
2
1
– --
2
3
– ------
2
u U
u V
u W
(B.14)
Zwischen dem Zeiger in Bild B.2 mitte und seinen Komponenten gelten die folgenden
Beziehungen:
uα = u cos(
ω1t + ϕ0), uβ = u sin(
ω1t + ϕ0) 2 2
uβ u = uα+ uβ, ω1t + ϕ0 = atan⎛
⎝
----- ⎞
u ⎠
α
(B.15)
(B.16)
Mit (B.17) können aus den Zeigerkomponenten wieder die Phasengrössen bestimmt werden.
Bild B.2 rechts illustriert die Rücktransformation aus der Zeigerdarstellung ins zugehörige
Dreiphasensystem als Projektion des Zeigers auf die 3 um 2π/3 versetzten Achsen
a, b und c.
u U
u V
u W
cos(
ω1t + ϕ0) ⎧ 2π ⎫
cos ω
u
⎨( 1t + ϕ0) – -----
⎩ 3
⎬ 3
= ⎭ =
--
2
⎧ 4π ⎫
cos⎨(
ω1t + ϕ0) – -----
⎩ 3
⎬
⎭
2
-- 0
3
1 1
– -- ------
3 3
1 1
– -- – ------
3 3
(B.17)
Die Transformation von den Phasengrössen auf Drehzeiger ist eindeutig. Allfällige
Gleichtaktkomponenten gehen jedoch dabei verloren. Die Rücktransformation ist abgesehen
von den Gleichtaktkomponenten ebenfalls eindeutig. Die rücktransformierten Pha-
u α
u β