Untitled - vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich

362 B Verwendete Grundlagen
(B.22) in Funktion der Zeit t oder des Winkels (ω 1 t) berechnen. Sie haben die gleiche Dimension
wie die Grösse x(t).
a 0
a ν
T 1
1
= ----- xt ()dt
T ∫ =
1
0
T 1
2π
1
----- x ω
2π ∫ ( 1t)d( ω1t )
0
2
= ----- xt () νω
T ∫ [ cos(
1t) ]dt =
1
0
T 1
2π
1
-- x ω
π ∫ [ ( 1t) cos(
νω1t) ]d( ω1t) 0
(B.20)
(B.21)
2π
bν 2
= -----
T ∫ [ xt () sin(
νω1t) ]dt
1
0
1
= --
π ∫ [ x( ω1t ) sin(
νω1t) ]d( ω1t) 0
(B.22)
Die Teilschwingungen jeder Frequenz, auch als harmonische Schwingungen oder Harmonische
bezeichnet, lassen sich statt durch eine Cosinus- und eine Sinusfunktion auch
nur durch eine Sinusfunktion mit Phasenverschiebung beschreiben:
2 2
a
xν() t = xˆ
νsin( νω1t + ϕν) mit xˆ
ν = aν + bν, ϕ ⎛ ν
ν ---- ⎞ ⎧0
= atan + (B.23)
⎝b⎠ ⎨
ν ⎩π
Sehr gebräuchlich ist die graphische Darstellung als Linienspektrum, getrennt nach
Amplituden- und Phasenspektrum, wobei meistens das Amplitudenspektrum (Beispiel in
Bild B.5) allein betrachtet wird. Die Amplituden werden dabei üblicherweise logarith-
dB
x' ˆ
0
0
x' ˆ
1
1 2 3 4 ν
x' ˆ
ν
f/f 1 bzw. ω/ω 1
Bild B.4.
Amplitudenspektrum des periodischen Signals
x(t), x' ˆ
ν =20log( xˆ
ν /xB )
misch in dB dargestellt: x' ˆ
ν =20log( xˆ
ν /xB) mit xB als beliebigem Bezugswert bzw. der
Einheit von x. Im Beispiel in Bild B.4 repräsentiert die dick gezeichnete Frequenzlinie bei
f=0 die Amplitude der DC-Komponente und diejenige bei f/f1=1 die der Grundschwingung
des Signals x(t). Sind die Fourierkoeffizienten von x(t) bekannt, so lässt sich mit
(B.24) auch ihr Effektivwert berechnen:
Xeff = xˆ 2 xˆ 2
1 xˆ 2
0 + ---- + ---- + …
2 2
=
xˆ 2
0 +
∞ 2
xˆ
ν
∑ ----
2
ν = 1
(B.24)
Die Darstellung von Signalen als Fourierreihe eignet sich sehr gut zur Beschreibung von
nichtsinusförmigen periodischen Grössen.