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MATEMATICA - SOLUZIONI E COMMENTI «
log a b þ log a c 2
log a d ¼ log a bc 2
¼ log a
bc 2
d :
log a d ¼
15 Risposta: E. Per verificare l’appartenenza di un
punto ad una retta si sostituiscono le sue coordinate
nell’equazione della retta stessa: il punto sarà
appartenente alla retta (quindi la retta passerà per
quel punto) se è verificata l’uguaglianza. L’opzione A
è errata (sostituendo le coordinate otteniamo: 5/2 = 0
quindi l’uguaglianza non è verificata), come le opzioni
B (–5/2 = 0), C (–1 = 2) e D (–5/2 = 4). Unica
opzione corretta è la E, infatti sostituendo le coordinate
del punto (1, 0) otteniamo: 0 = 0; l’identità è
verificata quindi il punto appartiene alla retta.
16 Risposta: D. Il polinomio rappresenta un prodotto
notevole, più precisamente il quadrato di
un binomio: (x + y) 2 = x 2 +2xy + y 2 . Quindi: x 4 –2x 2
+ 1 = (x 2 – 1) 2 . Inoltre tra le parentesi di questo
quadrato di un binomio abbiamo un altro prodotto
notevole, ossia la differenza di due quadrati: (x 2 – y 2 )
=(x + y) l (x – y). Quindi: (x 2 –1) 2 =(x +1) 2 l (x –1) 2 .
Il polinomio ha 4 radici reali, due uguali a 1 e due
uguali a – 1.
17 Risposta: C. Lamodaèun indice di posizione
ed è il valore della rilevazione che presenta la
massima frequenza. In questo caso il valore che
compare più frequentemente è il 3 (13 osservazioni).
18 Risposta: E. y ={f(x)} l {g(x)} D y’ ={f’(x) l
g(x) –f(x) l g’(x)} / {g 2 (x)}. La derivata di un
rapporto di funzioni equivale alla differenza tra il
prodotto della derivata della prima funzione e la
seconda funzione e il prodotto dellla derivata della
seconda funzione e la prima funzione, tutto diviso
dalla seconda funzione al quadrato.
19 Risposta: A. Laparabolaèdefinita come luogo
geometrico dei punti equidistanti da un punto P
detto fuoco e una retta r detta direttrice. In altre
parole, è l’insieme dei punti P tali che, indicato con
R la proiezione ortogonale di P sulla retta r, sono
uguali tra loro le lunghezze dei segmenti PF e PR. Se
F hacoordinate(0,–3)eladirettricehaequazioney
= 1, allora la parabola avrà vertice di coordinate (0,
–1) e non intersecherà l’asse delle ascisse.
20 Risposta: C. In matematica, si dice identità
un’uguaglianza tra due espressioni nelle quali
intervengono una o più variabili, la quale è vera per
tutti i valori che si possono attribuire alle variabili
stesse. Dall’equazione fondamentale della trigonometria:
sin 2
þ cos 2
¼ 1 ! sin 2
¼ 1 cos 2
.
21 Risposta: E. y =logf(x) D y’= f’(x)/f(x)
y =log(x 2 +4), f’(x) =2x, y’ =
2x
x 2 þ 4
22 Risposta: D. tg120_ =sin120_/cos120_ =
p ffiffiffi
3.
23 Risposta: E. In geometria si definisce iperbole
il luogo dei punti per i quali è costante il valore
assoluto della differenza delle distanze da due punti
fissi, detti fuochi. L’ellisse invece è il luogo geometrico
dei punti per i quali è costante il valore assoluto
della somma delle distanze dai due fuochi.
24 Risposta: E. In matematica si definisce numero
razionale qualsiasi numero rappresentabile con
una frazione a/b, di cui a è detto numeratore e b
denominatore (necessariamente L 0). Un numero è
razionale solo se la frazione che lo rappresenta è
composta pdaffiffiffi numeri pffiffiffi pinteri. ffiffiffiffiffi Unica risposta corretta
E, poiché: 2 8 ¼ 16 ¼ 4.
25 Risposta: C. Un quadrilatero è definito parallelogramma
se e solo se: le due coppie di
angoli interni opposti sono costituite da angoli congruenti;
tutte le coppie dei suoi angoli interni consecutivi
sono costituite da angoli supplementari. Dunque
sono gli angoli consecutivi ad essere supplementari,
non gli angoli opposti, che sono congruenti.
26 Risposta: B. Infatti: cos(A) = –cos(180_ – A),
quindi: 40_ =180_ –140_ otteniamo due valori
opposti, la cui somm è necessariamente nulla.
27 Risposta: C. Perleproprietàdei logaritmi: il
logaritmo del prodotto di due numeri è uguale
alla somma dei logaritmi dei due numeri. Quindi:
log5 + log10 = log50.
28 Risposta: B. senx +cosx =0D tgx +1=0
(dividiamo entrambi i membri per cosx) ottenendo:
tgx =–1D x =3p/4 + kp (latangenteèuna
funzione periodica di periodo p). Poiché l’intervallo
di variazione è compreso tra 0 e 2p: x =3p/4 + p D x
=3p/4 e x =7p/4. L’equazione ha quindi due soluzioni.
29 Risposta: C.
5x
7 40x þ 8
þ 3 !
x þ 1 5x þ 5 5x þ 5
Risolviamo prima il numeratore:
1
40x þ 8 0 ! x
5
Risolviamo ora il denominatore:
0
5x þ 5 < 0 ! x < 1
La disequazione fratta è verificata per gli intervalli
negativi, quindi: 1 < x 1=5.
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