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MATEMATICA - SOLUZIONI E COMMENTI «
517 Risposta: D. Da:sen 2 x +cos 2 x = 1 si deduce
cos 2 x =1–sen 2 x ovvero ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
cosx ¼ 1 sen 2 p
x
da cui jcosxj ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 sen2 p
x.
518 Risposta: C. Per trovare il M.C.D si devono
scomporre i polinomi in fattori irriducibili e
prendere in considerazione quelli comuni con il minimo
esponente. Procedendo nella scomposizione si
ottengono i seguenti polinomi: (x +1)(x +1)e(x –1)
(x + 1). Dunque (x +1)èil fattore irriducibile in
comune, quindi il massimo comune divisore dei due
polinomi.
519 Risposta: A. X=8–3+2=7.Y=8–3–2=3.
Dunque 7 > 3 D X > Y.
520 Risposta: B. Ipotizziamo un perimetro pari a 8
m. A: ilquadratoavràlatoparia2earea:2 2 =4
m 2 . B: l’ottagono avrà lato pari a 1 e area: 4,828 l 2 =
4,828 m 2 . C: il rettangolo avrà base pari a 3,2, altezza
paria0,8earea=2,56m 2 . D: il triangolo equilatero
ha base pari 2,7 mentre l’altezza è pari a 2,34, l’area
é =2,77m 2 . E: l’esagono ha lato pari a 1,3 e area:
2,598 l 2 =4,39m 2 . Il poligono con area massima è
dunque l’ottagono.
521 Risposta: B. Dal teorema di Pitagora discende
che ad ogni triangolo rettangolo corrisponde
una terna pitagorica e viceversa. Si definisce terna
pitagorica una terna di numeri naturali a, b e c tali
che: a 2 + b 2 = c 2 . Appare chiaro a questo punto che
una terna di numeri potrà rappresentare i lati di un
triangolo rettangolo solo se rispetta la condizione
sopra ed è quindi una terna pitagorica. Unica terna
ammissibile è: 3,4,5poiché:9+16=25.
522 Risposta: A. Illogaritmodiunnumero(argomento
del logaritmo), in una data base, è definito
come l’esponente a cui elevare la base, per
ottenere il numero stesso:
log a a ¼ n ! a n ¼ a ! n ¼ 1. Il logaritmo vale quindi
1, poiché elevando un numero solo per l’unità si
ottiene il numero stesso. (Non fare confusione con la
condizione a quesito: è a L 1, non n L 1).
523 Risposta: B. Perleproprietàdei logaritmi: il
logaritmo del prodotto di due numeri è uguale
alla somma dei logaritmi dei due numeri; il logaritmo
di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi
del dividendo e del divisore. Quindi:
2x
log10 ¼ log10 2x log10 y ¼
y
¼ log10 x þ log10 2 log10 y
524 Risposta: A. Per la presenza del valore assoluto
l’espressione si scompone in un sistema di due
equazioni:
x 2
3x þ 2 ¼ 0
x 2 þ 3x þ 2 ¼ 0
La prima equazione si scompone in: (x –1)(x –2)=0,
quindi ha come soluzioni: x =1ex = 2; la seconda
equazione si scompone in: (x +1)(x + 2) = 0, quindi
ha come soluzioni: x =–1ex = –2. L’equazione nel
complesso ha quattro soluzioni: x = g 1ex = g 2.
525 Risposta: C. Elevandoalcubounnumeronegativo
si ottiene ancora un numero negativo; se
il suo valore assoluto è maggiore di 1, elevando il
numero al cubo il suo valore aumenta, diventando a
maggior ragione superiore a uno.
526 Risposta: E. Il logaritmo di un numero (argomento
del logaritmo), in una data base, è definito
come l’esponente a cui elevare la base per ottenere
il numero stesso. Poiché 0; 3 = 1/3, il logaritmo
in base 3 di 1/3 sarà: log 3 0; 3 ¼ 1. Infatti 3 –1 =1/3.
527 Risposta: E. In geometria euclidea si definisce
parallelogramma un quadrilatero convesso con
lati opposti paralleli. Inoltre ogni parallelogramma
ha i lati e gli angoli opposti congruenti (diretta
conseguenza del V postulato di Euclide). In generale
nella geometria euclidea la somma degli angoli interni
di una qualunque forma geometrica convessa di
n lati è uguale a : (n –2)l 180_. Quindi per ogni
quadrilatero (compreso dunque il parallelogramma)
la somma degli angoli interni sarà: 2l 180_ =360_.
528 Risposta: D. Un’equazione di secondo grado
ammette due soluzioni reali e distinte solo nel
caso in cui il suo discriminante sia > 0, cioè: b 2 –4ac
> 0. Nel caso in cui il discriminante è negativo,
l’equazione non ammette nessuna soluzione reale;
se il discriminante è nullo, l’equazione ammette due
soluzioni reali coincidenti.
529 Risposta: B. A:2/5=0,4;B:5/2=2,5;
C: 25/100 = 0,25; D: 3/4 = 0,75.
530 Risposta: D. Riordinando i termini a secondo
membro la funzione diventa: y = – 5x + 3.
Ricordando che la forma esplicita della retta è: y =
mx + q, appare evidente come la funzione rappresenti
proprio una retta (con coefficiente angolare pari a –5
e intercetta con l’asse delle ordinate pari a 3).
531 Risposta: D. Il fascio di rette: y =–x/2 + k,
rappresenta un fascio di rette proprio; un fascio
di rette si dice proprio se le sue rette passano tutte per
il medesimo punto. La retta, con equazione riscritta
in forma esplicita è: y =–x/2 –1, passa dunque per il
punto: (0, –1) (le coordinate di un punto che appartiene
ad una retta, se sostituite nella sua equazione
verificano l’uguaglianza). Le rette del fascio devono
avere quindi in comune il punto (0, –1) oppure la
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