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MATEMATICA - SOLUZIONI E COMMENTI «
267 Risposta: A. Scrivendo le due equazioni in
forma esplicita si ottiene:
y ¼ 2x þ 1
3
y ¼ x
(
1=2
2
Quindi le due rette risultano perpendicolari in quanto
hanno i coefficienti angolari l’uno inverso e opposto
all’altro (2 e -1/2). Le risposte B e C sono quindi
sbagliate, mentre D ed E risultano errate perché risolvendo
il sistema con le due equazioni delle rette si
ottiene il punto di inersezione (-1/3, -1/3).
268 Risposta: B. y =sen(x) D y’ =cos(x).
269 Risposta: B. (x +2x) 3 =(3x) 3 =27x 3 .
y = x n D y’ = nx n –1 . Dunque: y =27x 3 D
y’ =3l 27 l x 2 =81x 2 .
270 Risposta: E. Il logaritmo di un numero (argomento
del logaritmo) in una data base, è definitocomel’esponenteacuielevarelabasedellogaritmo
per ottenere l’argomento stesso.
Dunque: log1/16x =1/4Dx =1/16 1/4 = 4pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1=16 =1/2.
271 Risposta: D. Ordiniamo i dati in ordine crescente:
10, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 31,
41, 44. Il campo di variazione è la differenza tra il
dato maggiore e quello minire, cioè 44–10=34.
272 Risposta: C. y = f(x) l g(x) D y’ = f’(x) l g(x) +
f(x) l g’(x). La derivata di un prodotto di funzioni
equivale al prodotto tra la derivata della prima
funzione e la seconda funzione sommato al prodotto
tra la derivata della seconda funzione e la prima
funzione.
273 Risposta: E. Per la formula di Erone l’area di
un triangolo pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
noti i suoi lati a, b e c è pari a:
pðp aÞðp bÞðp cÞ
ove p è il semiperimetro p =(a + b + c)/2; i tre lati del
triangolo in questione valgono 2, 2 e x (quello ignoto).
Dunque p =(4+x)/2 e
A ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
pp ð 2Þðp2ÞðpxÞ
equindi: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
4 þ x x 4 x
2 ¼
¼
2 2 2
¼ x
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
4 þ x 4 x
¼
2 2 2
x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
16 x
4
2
p
Da ciò deriva 8 ¼ x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
16 x2 p
che, elevando al quadrato,
porta a 64 = x 2 (16 – x 2 ), equivalente a x 4 –16x 2
+64=(x 2 –8) 2 = 0, le cui radici sono 2 ffiffiffi p p ffiffiffi
2 e 2 2,
quest’ultima da scartare in quanto negativa. Un triangolo
con lati pari a 2, 2 e 2 ffiffiffi p
2 è un triangolo isoscele
rettangolo.
274 Risposta: E. Le radici di un polinomio sono
definite come l’insieme di quei valori che,
sostituiti alla o alle variabili, danno all’espressione
polinomiale valore nullo. Se il polinomio è divisibile
per: (x 2 –4),èdivisibile per: (x +2)e(x –2).Quindi
ad esempio il polinomio sarà del tipo: (x +1)(x +2)(x
– 2). I valori che annullano il polinomio, quindi le
sue radici, sono (oltre a x =–1)x = g 2.
275 Risposta: C. (4+2x +12y)/2=2(2+x +6y)/2 =
2+x +6y
276 Risposta: D. Lafunzionenonèpari, poiché f(x)
L f(–x). La funzione non passa per l’origine
degli assi (sostituendo le coordinate (0; 0) nell’equazione
si ottiene: 0 = 6, l’uguaglianza non è verificata,
quindi il punto non appartiene alla curva); inoltre nel
punto: x =1lafunzioneè: y =2edèdunque definita
in quel punto. La funzione è iniettiva in quanto è una
funzione che porta elementi distinti del dominio in
elementi distinti dell’immagine. In altre parole, preso
un elemento dell’immagine, non ci può essere più di
un elemento del dominio che viene mappato in esso
dalla funzione.
277 Risposta: A. L’opzione A è l’unica risposta
corretta: 2x –5èdispari per ogni valore di x
(2x è sempre una quantità pari che sottratta poi ad un
numero dispari dà risultato dispari). L’opzione B è
errata (un numero moltiplicato per un numero pari dà
come risultato sempre un numero pari) come l’opzione
C (la quantità x +2 è dispari solo se x è dispari).
Anche l’opzione D non è corretta (l’espressione è
dispari solo se x è pari) così come la E (l’espressione
è dispari solo se x è pari).
278 Risposta: E. Nell’equazione non sono presenti
termini di secondo grado, è quindi possibile
scartare le opzioni A, B, C e D (l’equazione della retta
è l’unica a presentare solo termini di primo grado).
L’opzione corretta è la E, infatti riscrivendo l’equazione
in forma esplicita otteniamo: y =–(ax)/b – c/b,
che ha forma identica all’equazione generale della
retta: y = mx + q.
279 Risposta: A. Tutti i logaritmi godono della
seguente proprietà: il logaritmo del prodotto
di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei
due numeri. Dunque: log a(b l c) =log a(b) +log a(c).
280 Risposta: A. Le formule di bisezione (‘‘bi’’ =
‘‘due’’ e ‘‘sezione’’ = ‘‘divisione’’) sono le
relazioni che permettono di derivare le funzioni trigonometriche
di un angolo corrispondente alla metà
di un angolo di cui sia noto almeno il valore del suo
coseno.
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