Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

76 2.9. L’approche infinitésimale systématique de Engel et de Lieoù l’on a noté p ′ µ := ∂ , qui forment une algèbre de Lie que nous noteronsg ′ . Comme l’action est linéaire, elle se transmet à l’espace projectif∂x ′ µP(R 3 ) = P 2 (R) et l’on obtient une nouvelle algèbre de Lie g dont onpeut représenter les générateurs dans un système de coordonnées inhomogènes(x, y). Seule la dilatation x ′ 1 p′ 1 +x′ 2 p′ 2 +x′ 3 p′ 3 disparaît lorsqu’onprojectivise 44 , et donc la dimension de g vaut deux s’il existe une combinaisonlinéaire des générateurs de g ′ qui est égale à cette dilatation (cecas sera exclu dans un instant), et elle vaut trois sinon.Deux pièces maîtresses entrent alors en scène. Nous avons signaléque l’axiome le plus important par sa puissance de restriction demandaitque chaque mouvement à un paramètre soient périodique sur leséléments linéaires, à un facteur dilatant près. Quand on projectivise,le facteur dilatant disparaît, chaque point subit un mouvement rigoureusementpériodique — à moins qu’il ne reste fixe —, et cela imposenotamment que tous les points décrivent une courbe fermée. Mais unetelle circonstance ne se produit que très rarement.Tout d’abord, en dimension 2 et bien avant que n’apparaisse le problèmede Riemann-Helmholtz, Engel et Lie avaient déjà classifié toutesles transformations infinitésimales projectives réelles à changement decoordonnées projective près. Il y en a sept (cf. (30) p. 250 ci-dessous),et c’est la première pièce maîtresse :⎧⎪⎨p + y q; p + x q; y q; q;x p + c y q (c≠0, 1); y p − x q + c (x p + yq) (c≠ 0);⎪⎩y p − x q.Ici, (x, y) sont des coordonnées inhomogènes sur P 2 (R) et p = ∂ , q = ∂x∂. On vérifie que les cinq premières transformations sont exclues, parce∂yque chacune d’entre elle laisse globalement invariante au moins unedroite projective sur laquelle la transformation infinitésimale se ramène,si l’on note x une coordonnée indépendante sur une telle droite : 1) oubien à ∂∂; 2) ou bien à x ; et alors il est clair dans les deux cas que∂x ∂xles courbes intégrales correspondantes : x(t) = x 0 +t et x(t) = x 0 e t nesont pas périodiques. La sixième transformation :rotation + c · dilatation = y p − x q + c (x p + yq)(c≠0)est elle aussi exclue, puisque tout point est entraîné autour de l’originepar la présence du facteur de rotation, tout en étant attiré (ou répulsé)44 Elle seule donne la transformation projective infinitésimale identiquement nulle.