Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 167passer aux recherches proprement dites sur les fondements de la Géométrie.§ 85.Propriétés caractéristiques des groupes recherchés.Soit :X k f = ξ k (x, y, z) p + η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r(k = 1 ···m)un groupe 1 à m paramètres 2 possédant la constitution exigée. Si ensuite :(1) x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ; . . ....; x s , y s , z ssont s points arbitraires 3 de R 3 et si nous posons :ξ k (x ν , y ν , z ν ) p ν + η k (x ν , y ν , z ν ) q ν + ζ k (x ν , y ν , z ν ) r ν = X (ν)k f,alors premièrement, les m équations linéaires aux dérivées partielles :(2) X (1)k f + X(2) kf = 0 (k =1··· m)en les six variables : x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 doivent posséder en communune et une seule solution 4 :(3) J ( x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2);et deuxièmement, lorsque s > 2, toutes les solutions communes des méquations :(4) X (1)k f + X(2) k f + · · · + X(s) f = 0 (k =1··· m)1 Tout groupe de transformations fini et continu est systématiquement identifiépar Lie à un système de générateurs infinitésimaux clos par crochets.2 Le texte allemand imprimé comporte ici l’une des très rares coquilles de toutle traité (Tomes I, II et III), Engel et Lie ayant noté par réflexe r au lieu de m cenombre de paramètres (nous rectifions), comme ils ont l’habitude de le faire lorsqu’ilsenvisagent un groupe continu général, mais dans ce chapitre, la lettre r n’est plus autorisée,car elle entrerait en confusion avec la troisième transformation infinitésimalede l’espace, traditionnellement notée r = ∂f∂z .3 Ici, R 3 désigne l’espace à trois dimensions, en fait complexe : c’est C 3 , et nonR 3 . Engel et Lie travaillent toujours d’abord sur C (sans le préciser), puis sur R (en leprécisant), mais ils notent à nouveau R 3 (ou R n ) l’espace réel.4 Plus précisément, la solution générale du système (2) est nécessairement unefonction arbitraire de l’unique invariant J, de la forme Φ ( J(x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ) ) , oùΦ est une fonction arbitraire. En permutant les variables (x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ), leséquations (2) restent inchangées, donc J(x 2 , y 2 , z 2 ; x 1 , y 1 , z 1 ) est aussi une solutionde (2), mais non essentielle, puisqu’elle est de la forme Φ ( J(x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ) ) .k