Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 213À présent, calculons les crochets :[p, (x 2 − y 2 )p + 2xyq + ϕ 5 r ] = 2(xp + yq) + ∂ϕ 5∂x r[q, (x 2 − y 2 )p + 2xyq + ϕ 5 r ] = −2(yp − xq) + ∂ϕ 5∂y r[xp + yq + ar, (x 2 − y 2 )p + 2xyq + ϕ 5 r ] = (x 2 − y 2 )p + 2xyq+{+ x ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ 5∂y + a ∂ϕ 5∂z[yp − xq + br, (x 2 − y 2 )p + 2xyq + ϕ 5 r ] = 2xyp + (y 2 − x 2 )q+{+ y ∂ϕ 5∂x − x ∂ϕ 5∂y + b ∂ϕ 5∂z[yp − xq + br, 2xyp + (y 2 − x 2 )q + ϕ 6 r ] = −(x 2 − y 2 )p − 2xyq+d’où nous obtenons :⎧(57)⎪⎨⎪⎩ y ∂ϕ 6∂x − x ∂ϕ 6∂y + b ∂ϕ 6∂z = −ϕ 5.De là, on tire tout d’abord :ϕ 5 = 2(ax − by) + ω(z),et par conséquent :∂ϕ 5∂x = 2a, ∂ϕ 5∂y = −2bx ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ 5∂y + a ∂ϕ 5∂z = ϕ 5y ∂ϕ 5∂x − x ∂ϕ 5∂y + b ∂ϕ 5∂z = ϕ 6ϕ 6 = 2(bx + ay) + bω ′ (z);}r}r{+ y ∂ϕ 6∂x − x ∂ϕ 6∂y + b ∂ϕ }6r∂za ω ′ (z) = ω(z) = a 2 ω ′′ (z)mais si nous insérons cette valeur de ϕ 6 dans la dernière des équations(57), viennent alors deux équations :b 2 ω ′′ (z) = −ω(z) = −a 2 ω ′′ (z),qui, pour des valeurs réelles de a et de b, ne peuvent alors valoir quelorsque ω(z) s’annule 8 .8 On notera l’organisation fine des calculs : le terme −ω(z), dont la fin de ladémonstration conclut qu’il s’annule identiquement, avait déjà été placé au centre plushaut, et maintenant, dans cette dernière équation, il est clair, puisque b 2 et −a 2 sontde signe opposé, que −ω(z) au centre est à la fois de signe positif et de signe négatif,donc nul.