Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 301ont au minimum une solution en commun : Ω(x 1 , x 2 , x 3 ; y 1 , y 2 , y 3 ),c’est-à-dire que les deux points x ν et y ν ont en tout cas un invariantrelativement à G, à savoir l’invariant Ω(x, y).De la transitivité de G il découle maintenant immédiatement queles deux points x ν et y ν ont seulement un invariant relativement à G ;en effet, s’ils avaient deux ou même trois invariants, alors chaque pairede points occuperait au maximum ∞ 4 positions différentes par l’actionde G, et par conséquent, après fixation d’un point en position générale,chaque autre point pourrait se mouvoir au plus sur une courbe, ce qui setrouve être en contradiction avec l’Axiome IV.Ainsi, G est réellement transitif et deux points x ν et y ν finimentéloignés l’un de l’autre ont, relativement à G, seulement un invariant :Ω(x, y). Nous pouvons conclure de là que l’équation (6) peut être ramenéeà la forme :(6’) Ω ( x 1 , x 2 , x 3 ; y 0 1 , y0 2 , y0 3)= Ω(x01 , x 0 2 , x0 3 ; y0 1 , y0 2 , y0 3).Nous démontrons maintenant que notre groupe est réel-primitif.(Puisque l’ensemble de toutes les pseudosphères de centre :y1, 0 y2, 0 y3 0 est représenté par une équation et puisque, parmi ces pseudosphères,se trouvent ∞ 1 surfaces réelles, il est clair que seulementun nombre discret de pseudosphères de centre : y1 0, y0 2 , y0 3 peut seréduire à des courbes ou à des points.) Comme (de plus) aucune despseudosphères de centre : y1, 0 y2, 0 y3 0 ne peut passer par son centre, ilparaît clair qu’après fixation du point : y1, 0 y2, 0 y3, 0 aucune courbe ousurface passant par ce point ne peut rester au repos, et par conséquent,G est effectivement réel-primitif.À présent, il est facile aussi de démontrer que G est fini et pourpréciser, qu’il a au plus six paramètres.Tout d’abord, il est en effet certain qu’au moins ∞ 2 pseudosphèresdifférentes appartiennent à G. S’il n’y avait en effet que ∞ 1 pseudosphères,alors il ne passerait par chaque point qu’une pseudosphère etchaque point serait le centre de la pseudosphère passant par lui ; maisceci ne doit pas être.Ensuite, soit P 1 , P 2 , P 3 et P quatre points réels quelconquesqui sont mutuellement en position générale. Puisqu’il y a ∞ 2 pseudosphèresdifférentes, les deux pseudosphères centrées en P 1 et en P 2 passantpar P se coupent nécessairement en une courbe réelle C passant parP . Si maintenant C se trouvait aussi dans la pseudosphère centrée en P 3