Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

100 3.5. Équations différentielles fondamentalesqui est la combinaison linéaire générale des r précédents champs devecteurs basiques Xk e , k = 1, . . ., r.Occasionnellement, Engel et Lie écrivent qu’un tel champ de vecteursX appartient au groupe x ′ = f(x; a), pour signifier que X vientaccompagné du mouvement infinitésimal x ′ = x+ε X qu’il est supposéexécuter (les points de suspension sont censés être supprimés dans l’intuition).En accord avec cet acte de pensée synthétique, Lie appelle Xune transformation infinitésimale, considérant en effet que x ′ = x+ε Xest juste un cas particulier de x ′ = f(x, a). Une autre raison fondamentaleet très profonde, pour laquelle Lie dit que X appartient au groupex ′ = f(x; a) est qu’il a démontré que les groupes continus finis detransformations locales sont en correspondance biunivoque avec les espacesvectoriels purement linéaires :Vect C(X1 , X 2 , . . .,X r),de transformations infinitésimales, qui héritent en fait aussi, directementà partir de la loi de multiplication de groupe, d’une structure algébriqueadditionnelle, comme nous allons maintenant le rappeler. Quelques préparatifs(§§ 3.5, 3.6 et 3.7) sont nécessaires.Tout d’abord (§ 3.5), il faut infinitésimaliser — c’est-à-dire différentier— la loi de composition de groupe, réorganiser les équationsobtenues, et interpréter géométriquement leur signification.Ensuite (§ 3.6), il faut traduire dans la théorie des groupes les théorèmesclassiques sur l’intégration des systèmes d’équations différentiellesordinaires d’ordre un. Ces systèmes correspondent à l’intégrationd’un, et d’un seul champ de vecteurs. Une dernière pièce préliminaireest donc nécessaire (§ 3.7) : le théorème de Clebsch-Frobenius, qui correspondà l’intégration de plusieurs champs de vecteurs soumis à unecertaine condition de compatibilité.3.5. Équations différentielles fondamentales. Partons de la loi decomposition de groupe, que nous réécrivons comme suit :x ′′ = f ( f(x; a); b ) = f(x; a · b) =: f(x; c).Ici, c := a · b dépend de a et b, mais à la place de a et b, nous allonsconsidérer a et c comme paramètres indépendants. Ainsi, en remplaçantb = a −1 · c =: b(a, c), les équations :f i(f(x; a); b(a, c))≡ fi (x; c) (i = 1 ··· n)sont satisfaites identiquement pour tout x, tout a et tout c. Ensuite, pourk ∈ {1, 2, . . ., r} fixé, différentions ces identités par rapport à a k , en