Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 101notant de manière abrégée f i ′ ≡ f i(x ′ ; b) et x ′ j ≡ f j(x; a), ce qui nousdonne :∂f i′ ∂x ′ 1+· · ·+ ∂f i′ ∂x ′ n+ ∂f i′ ∂b 1+· · ·+ ∂f i′ ∂b r≡ 0∂x ′ 1 ∂a k ∂x ′ (i =1··· n).n ∂a k ∂b 1 ∂a k ∂b r ∂a kIci bien sûr à nouveau, l’argument de f i ′ est ( f(x, a); b(a, c) ) , l’argumentdes x ′ l est (x; a) et l’argument des b j est (a, c). Grâce à x ′′ (x ′ ; e) ≡x ′ , la matrice ∂f )i′∂x f(x; e); b(e, e) est l’identiték( ′ In×n . Par conséquent,en appliquant la règle de Cramer 15 , pour tout k fixé, nous pouvons résoudreles n équations linéaires précédentes par rapport aux n inconnues∂x ′ 1∂a k, . . ., ∂x′ n∂a k, et nous obtenons des expressions de la forme :(2)∂x ′ ν∂a k(x; a) = Ξ 1ν (x ′ , b) ∂b 1∂a k(a, c) + · · · + Ξ rν (x ′ , b) ∂b r∂a k(a, c)(ν =1··· n; k = 1 ···r),pour certaines fonctions analytiques Ξ jν (x ′ , b) qui sont indépendantesde k.D’autre part, afin de pouvoir substituer la dérivée partielle ∂b j∂a kparune expression adéquate, différentions par rapport à a k les équationssuivantes, qui sont satisfaites identiquement :( )c µ ≡ m µ a, b(a, c) (µ =1··· r).De cette manière-là, nous obtenons :0 ≡ ∂m r∑µ+∂a kπ=1∂m µ∂b π∂b π∂a k(µ=1··· r).Mais puisque la matrice ∂mµ∂b πse réduit à la matrice identité I r×r pour 16(a, b(a, c))∣∣(a,c)=(e,e) = (e, e), la règle de Cramer, à nouveau, nous permetde résoudre ce système par rapport aux r inconnues ∂bπ∂a k, et nousobtenons ainsi des expressions de la forme :∂b π∂a k(a, c) = Ψ kπ (a, c),avec certaines fonctions Ψ kπ , qui sont définies dans un domaine éventuellementplus petit. En posant (a, c) = (e, e) dans le même système15 — et en rapetissant aussi si nécessaire les domaines d’existence, mais sans introduirede dénomination spéciale —16 — seulement parce que m(e, b) ≡ b —