Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 149et ici, les transformations infinitésimales W 1 (f), . . .,W r (f) ne sont reliéspar aucune relations de la forme :r∑ϕ k (y 1 , . . ., y r , u 1 , . . .,u rn−r ) · W k (f) = 0.k=1Naturellement, cette propriété des W k (f) reste aussi vraie lorsque l’onconfère à u τ des valeurs appropriées u 0 τ. Si on pose alors ω kπ (y, u 0 ) =ωkπ 0 (y), les r transformations infinitésimales indépendantes en les variablesindépendantes y 1 , . . .,y r :r∑V k (f) = ωkπ 0 (y 1, . . ., y r ) ∂f∂y ππ=1satisfont les relations par paires :V k(Vj (f) ) − V j(Vk (f) ) =r∑c kjs V s (f)et de plus, elles ne sont liées par aucune relation de la forme :r∑ϕ k (y 1 , . . ., y r ) · V k (f) = 0.k=1Par conséquent, les V k (f) sont des transformations infinitésimales ayantla constitution recherchée. Ains, nous pouvons immédiatement appliquerle Théorème 23 p. 141 aux 2r transformations infinitésimalesX 1 (f), . . ., X r (f), V 1 (f), . . ., V r (f) et nous avons donc démontré queles ∞ r−1 groupes à un paramètre ∑ λ k X k (f) constituent un groupeà r paramètres (essentiels). En définitive, la réciproque « conjecturée »ci-dessus est vraie.Théorème 24. ([40], p. 158) Si r transformations infinitésimales indépendantes:X k (f) =n∑i=1satisfont les relations par paires :s=1ξ ki (x 1 , . . ., x n ) ∂f∂x iX k(Xj (f) ) − X j(Xk (f) ) = [X k , X j ] =(k = 1 ···r)r∑c kjs X s (f),où les c kjs sont des constantes, alors la totalité des ∞ r−1 groupes à unparamètre :λ 1 X 1 (f) + · · · + λ r X r (f)s=1