Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 229τ, alors le point : x 1 . . .x n se trouvera finalement dans la position :x ′′1 . . .x′′ n qui est définie par les équations :(10) x ′′ν = Φ ν(F1 (x, t) . . .F n (x, t); τ ) (ν = 1 ··· n).Maintenant, comme ces équations (10) représentent évidemment unetransformation, on en déduit que par l’effectuation de deux mouvementsl’un à la suite de l’autre, on obtient toujours une certaine transformationde l’espace. La même chose vaut naturellement lorsqu’on effectue unnombre quelconque de tels mouvements l’un à la suite de l’autre.Si nous nous souvenons maintenant que les deux points : x 1 . . .x n ,y 1 . . .y n ont l’invariant Ω(x, y) non seulement relativement à la transformation(8), mais aussi relativement à la transformation (9), nousvoyons alors immédiatement qu’ils possèdent cet invariant relativementà toute transformation (10), et plus généralement, relativement à toutetransformation qui est obtenue par accomplissement de plusieurs mouvementsl’un à la suite de l’autre. Par conséquent :Si l’on effectue un mouvement continu, ou plusieurs mouvementsde cette sorte l’un à la suite de l’autre, alors on obtient toujours unetransformation relativement à laquelle deux points quelconques : x ν ety ν ont l’invariant Ω(x, y).Au moyen du mouvement continu le plus général possible qui soitadmissible, une certaine famille de transformations de l’espace est doncspécifiée de telle sorte que, relativement à cette famille, deux pointsx ν et y ν ont l’invariant Ω(x, y). Nous ne pouvons pas dire pour l’instantde quelle nature particulière est faite cette famille, puisque c’est letroisième axiome helmholtzien qui donne la première information làdessus.On ne peut d’ailleurs même pas encore conclure du contenu dudeuxième aximome que deux points doivent avoir seulement un invariant.Le troisième axiome de Monsieur de Helmholtz (voir p. 221,lignes 1 à 11 ci-dessus) est constitué de deux parties.La première partie (l. 1 à 5) peut être, si l’on tient compte de cequi a été dit auparavant, formulée de la manière suivante : chaque pointde l’espace mobile doit pouvoir être déplacé continûment dans le lieude chaque autre point de cet espace, tant qu’il n’est pas restreint par lefait que les invariants de toutes les paires de points de l’espace mobileauquel il appartient doivent conserver leur valeur numérique au coursdu mouvement.