Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

238 Division V. Chapitre 21. § 94.Dans l’espace à trois dimensions chaque groupe de mouvementsqui satisfait les exigences helmholtziennes est à six paramètres. Monsieurde Helmholtz considère maintenant * , comme nous pouvons l’exprimer,tous les mouvements contenus dans le groupe, qui laissent invariantun point déterminé. Puisque le groupe des mouvements est transitif,l’ensemble de tous les mouvements qui laissent au repos un pointdéterminé, constitue un groupe à trois paramètres. Si, par souci de simplicité,nous nous imaginons que le point invariant est choisi commeétant l’origine des coordonnées, alors les équations de ce groupe à troisparamètres ont la forme :⎧⎪⎨x ′ = λ 1 x + λ 2 y + λ 3 z + · · ·(15)y ′ = µ 1 x + µ 2 y + µ 3 z + · · ·⎪⎩z ′ = ν 1 x + ν 2 y + ν 3 z + · · · ,où les constantes λ, µ, ν et les termes d’ordre supérieur qui ont été supprimésne dépendent que de trois paramètres arbitraires et où le déterminantdes λ, µ, ν ne s’annule sûrement pas identiquement.Cependant, Monsieur de Helmholtz ne considère pas legroupe (15) lui-même, mais il étudie seulement de quelle manièreles points infiniment proches de l’origine des coordonnées sonttransformés par le groupe (15), autrement dit : il se restreint à laconsidération des transformations :⎧⎪⎨dx ′ = λ 1 dx + λ 2 dy + λ 3 dz(16)dy ′ = µ 1 dx + µ 2 dy + µ 3 dz⎪⎩dz ′ = ν 1 dx + ν 2 dy + ν 3 dz,* Gött. Nachr. 1868, p. 202 sq. La manière dont il construit ces mouvementsest remarquable. Il sélectionne un mouvement déterminé S, par lequel un point déterminéP 1 est envoyé vers une nouvelle position P , et d’un autre côté, il s’imaginedisposer du mouvement le plus général contenu dans le groupe, par lequel P 1 est égalementenvoyé sur P . Sous ces hypothèses, S −1 T est visiblement le mouvement leplus général appartenant au groupe au cours duquel P reste au repos. Avec cela, il estdémontré non seulement qu’il y a de tels mouvements, mais aussi que les équationsdes mouvements concernés peuvent être rapportées à une forme telle qu’elles peuvents’appliquer aux points qui sont infiniments voisins de P . Naturellement, Monsieur deHelmholtz ne calcule pas du tout de manière symbolique avec les transformations ;chez lui, le concept de famille de transformations ne se rencontre pas même une seulefois explicitement. En utilisant les concepts et les manières de s’exprimer de la théoriedes groupes, nous donnons en général une forme plus rigoureuse aux développementshelmholtziens.