Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 247a la même structure 12 que le groupe des mouvements euclidiens d’unplan, et qui lui est de surcroît semblable par une transformation ponctuelleréelle.Les points qui sont infiniment voisins de l’origine des coordonnéesse comportent d’une manière totalement différente. Afin de se constituerune image de la façon dont sont transformés ces points, lorsque l’originedes coordonnées est fixée, on peut au mieux envisager le groupe par lequelsont transformés les ∞ 2 éléments linéaires passant par l’originedes coordonnées, car chaque point qui est infiniment voisin de l’originedes coordonnées détermine un tel élément linéaire. Si on entendpar x ′ , y ′ , z ′ les coordonnées homogènes d’un élément linéaire, alors cegroupe est :y ′ p ′ − x ′ q ′ , x ′ r ′ , y ′ r ′ ,et on vérifie alors immédiatement que la variété des ∞ 2 éléments linéairesest transformée par l’action d’un groupe projectif qui est dualistiquedu groupe des mouvements euclidiens d’un plan.Ainsi, on voit que, lors du passage des points finiment éloignés auxpoints infiniment voisins, un saut plus total peut se produire, et que lespoints infiniment voisins obéissent dans de telles circonstances à deslois tout autres que celles auxquelles sont soumis les points finimentéloignés les uns des autres.Grâce aux exemples précédents, il a été suffisamment démontréque la supposition que Monsieur de Helmholtz a introduite tacitementet qui a été décrite plus précisément aux pages 239 sq. est erronée. Etmaintenant, comme ses considérations ultérieures prennent entièrementcette supposition comme point de départ et n’ont force de preuve quesur la base de cette supposition, nous parvenons donc au résultat queMonsieur de Helmholtz n’a pas démontré l’assertion qu’il énonce à lafin de son travail, à savoir : il n’a pas démontré que ses axiomes suffisentà caractériser les mouvements euclidiens et non-euclidiens.Après nous être convaincus de cette façon que les développementsde Monsieur de Helmholtz ne constituent pas une démonstration, nous12 [gleichzusammengesetzt ist] : possède les mêmes constantes de structure dansles crochets de Lie. En effet, les mouvements encore possibles par le sous-groupede (24) qui laisse fixe l’origine sont engendrés par les trois générateurs infinitésimaux :P := (x 2 − y 2 )p + 2xyq + 2xr, Q := 2xyp + (y 2 − x 2 )q + 2yr, yp − xq.Ils satisfont bien les mêmes relations de commutation : [ P, yp−xq ] = −Q ; [ Q, yp−xq ] = P et : [ P, Q ] = 0 que les trois générateurs infinitésimaux : p, q, yp − xq desmouvements euclidiens du plan.