Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 135dans A 1 . Ainsi par sa définition même, ce flot intègre les équationsdifférentielles ordinaires :dh ir∑dt = λ j ξ ji (h 1 , . . .,h n ) (i =1 ···n)j=1avec la condition initiale h ( x; 0, λ ) = x.D’un troisième côté, rappelons que l’on peut résoudre les ξ ji dansles équations différentielles fondamentales (2) en inversant la matrice˜ψ :ξ ji (f 1 , . . .,f n ) =r∑k=1˜ψ jk (a) ∂f i∂a k(i =1··· n ; j =1··· r).À i et à j fixés, multiplions ensuite par λ j les deux membres de cettedernière équation, sommons pour j allant de 1 jusqu’à r et reconnaissonsda k, que nous pouvons donc faire apparaître :dtr∑r∑ ∂f ir∑λ j ξ ji (f 1 , . . .,f n ) = λ j ˜ψjk (a)∂aj=1kk=1 j=1r∑ ∂f i da k=∂a k dtk=1= d [ ( )]fi x; a(t, λ) (i =1··· n).dt( )Donc(les f i x;) a(t, λ) satisfont les mêmes équations différentielles queles h i x; t, λ , et en outre, si nous assignons à x la valeur f(x; a 0 ), lesdeux collections de solutions auront de surcroît la même condition initialepour t = 0, à savoir : f(x; a 0 ). En conclusion, cette observationque les f i et les h i satisfont les mêmes équations jointe à la propriétéfondamentale d’unicité pour les solutions d’un système d’équations différentiellesordinaires fournit l’identité de coïncidence :f ( x; a(t, λ) ) ≡ exp ( )(t 1 λ 1 X 1 + · · · + tλ r X r f(x; a 0 ) )qui exprime que chaque transformation x ′ = f(x; a) pour a dans unvoisinage de a 0 s’avère être la composition de la transformation fixéex = f(x; a 0 ), suivi de la transformation du groupe à un paramètreexp ( )tλ 1 X 1 +· · ·+tλ r X r (x) : c’est ce que l’on voulait démontrer. □Premier moment : Constantes de structure. En produisant par différentiationun système d’équations soumis à la condition de Clebsch-Lie-Frobenius, la démonstration remarquable qui suit et qui semble ne