Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

152 3.8. Équations de structureet introduisons ces valeurs des x i dans x i = f i (x,a). De cette manière, nousobtenons, pour les équations cherchées, une expression de la forme :(10) x i = Φ i(x′1 ,... ,x ′ n, a 1 ,... ,a r ) (i = 1 ···n),dans laquelle nous n’écrivons pas les a 0 k, puisque nous voulons les considérercomme des constantes numériques.La transformation (10) et bien définie pour tous les systèmes de valeursa k dans le domaine A et son expression peut être prolongée analytiquement(au sens de Weierstraß) à ce domaine entier A ; cela découle en effet des hypothèsesque nous avons effectuées au sujet de la nature des fonctions f i etF i .Nous affirmons maintenant que pour certaines valeurs des paramètresa k , les transformations de la famille x i = Φ i (x ′ , a) appartiennent au groupeinitialement donné x ′ i = f i(x,a), alors que par contraste, pour certaines autresvaleurs des a k , elles appartiennent au groupe X 1 f,...,X r f qui contient latransformation identité.Établissons la première partie de cette assertion. Nous savons que lesdeux transformations :x ′ i = f i (x 1 ,...,x n , a 0 1,...,a 0 r), x i = f i (x ′ 1,...,x ′ n, b 1 ,...,b r )exécutées l’une après l’autre produisent la transformation x i = f i (x,c), oùc k = ϕ k (a 0 ,b) ; ici, nous pouvons donner à b 1 ,... ,b r tout système de valeursdans le domaine A 1 , tandis que le système de valeurs c 1 ,...,c r appartientau domaine A , dans un certain voisinage de c 0 1 ,...,c0 r . Mais d’après ce quia été dit précédemment, la transformation x i = f i (x,c) est aussi obtenue enexécutant les deux transformations :x ′ i = f i (x 1 ,... ,x n , a 0 1,... ,a 0 r), x i = Φ i (x ′ 1,...,x ′ n, a 1 ,...,a r )l’une après l’autre, et en choisissant a k = c k . Par conséquent, après la substitutiona k = ϕ k (a 0 ,b), la transformation x i = Φ i (x ′ ,a) est identiqueà la transformation x i = f i (x ′ ,b), c’est-à-dire : toutes les transformationsx i = Φ i (x ′ ,a) dont les paramètres a k se trouvent dans un certain voisinagede c 0 1 ,... ,c0 r qui est défini via l’équation a k = ϕ k (a 0 ,b), appartiennent augroupe donné x ′ i = f i(x,a).Afin d’établir la seconde partie de notre assertion, rappelons le Théorème25. Si a 1 ,... ,a r se trouvent dans un certain voisinage de a 0 1 ,... ,a0 r ,alors en vertu de ce théorème, la transformation x i = f i (x,a) peut être obtenueen exécutant d’abord la transformation :x ′ i = f i (x 1 ,...,x n , a 0 1,...,a 0 r)et ensuite une transformation complètement déterminée :r∑(11) x i = x ′ i + λ k ξ ki (x ′ ) + · · ·k=1