Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 73le cas R = ∞ correspondant à la géométrie euclidienne. Et puisquedans une telle famille, tous les cas où R < ∞ fournissent une géométriesur l’espace d’une sphère tridimensionnelle qui est compact, Helmholtza cru pouvoir caractériser pleinement la géométrie euclidienne en ajoutantdeux axiomes 39 :• V : L’espace possède trois dimensions.• VI : L’espace est infini en extension.Malheureusement, dans une lettre datant du 24 avril 1869, EugenioBeltrami informait Helmholtz de la consistance éclatante de la géométriede Lobatchevskiĭ grâce à sa réalisation sur une pseudosphère infinietridimensionnelle. Helmholtz était ainsi contredit. Pour conclure, on retiendral’énoncé suivant, qui laisse encore essentiellement ouverte laquestion soulevée par Riemann.Proposition de Helmholtz. En supposant que la libre mobilité descorps rigides et l’axiome de monodromie valent tous deux au niveauinfinitésimal, le sous-groupe d’isotropie linéarisé de tout point quelconqueest isomorphe à SO 3 (R).2.9. L’approche infinitésimale systématique de Engel et de Lie.Engel et Lie donneront au moins trois solutions distinctes au problèmede Riemann-Helmholtz. La première (§ 95 p. 248 ci-dessous) rebonditsur la pétition de principe helmholtzienne en proposant tout simplementde formuler directement les axiomes au niveau infinitésimal. Mais unedifférence majeure s’introduit : on ne suppose alors nullement l’existenced’une fonction de deux points quelconques dont la valeur demeureinvariante dans les mouvements (rigidité).Tout d’abord 40 , Engel et Lie partent de l’hypothèse que l’espaceest une variété numérique (locale) à trois dimensions et que les mouvementsde cet espace forment un groupe continu de transformations (locales)qui est transitif et à six paramètres. Soient X 1 , . . .,X 6 six transformationsinfinitésimales linéairement indépendantes et fermées parcrochet de Lie dans l’espace des (x, y, z) qui engendrent un tel groupe.Comme le groupe est transitif, si l’on fixe un point réel (x 0 , y 0 , z 0 ) enposition générale, il existe exactement 3 transformations infinitésimaleslinéairement indépendantes dont les combinaisons engendrent l’espace39 Implicitement, le premier de ces deux derniers axiomes avait déjà été admis.40 La lecture de ce dernier paragraphe nécessite une connaissance préalable desfondements de la théorie de Lie qui seront exposées en détail dans les Chapitres 4 et 5ci-dessous.