Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

314 Division V. Chapitre 23. § 103.de centre : y1 0 . . .y0 n . Notre dernière exigence exprime alors visiblementqu’une pseudosphère ne peut jamais passer par son centre.Enfin, nous demandons encore que dans R n , puisse être délimitéeune région finie n fois étendue, à l’intérieur de laquelle les exigencessuivantes soient satisfaites : Si l’on fixe un point P 1 de la région, alorstout autre point de la région doit pouvoir se mouvoir d’une manière entièrementlibre sur la pseudosphère de centre P 1 passant par lui. Si l’onfixe q points P 1 . . .P q de la région qui sont mutuellement en positiongénérale, alors, tant que q est < n − 1, chaque autre point en positiongénérale appartenant à la région doit pouvoir se mouvoir d’une manièreentièrement libre sur la variété passant par P qui est l’intersection des qpseudosphères de centres P 1 . . .P q .Nous affirmons que ces exigences suffisent pour caractériser lesmouvements euclidiens et non-euclidiens. Mais nous voulons seulementindiquer la démonstration de cette assertion.Nous supposons que notre assertion est déjà démontrée pour l’espaceà n − 1 dimensions et nous démontrons, en prenant cette hypothèsepour base, que notre assertion est vraie aussi pour pour l’espace àn dimensions. Comme nous avons l’avons déjà démontrée dans les casn = 3 et n = 4, sa validité en général sera alors établie.Mais pour démontrer que notre assertion est vraie dans R n , aussitôtqu’elle l’est dans R n−1 , nous procédons comme dans le cas n = 4. Nousmontrons que chaque groupe G qui satisfait nos axiomes est transitif etque relativement à lui, deux points finiment éloignés l’un de l’autre ontun et un seul invariant ; de plus, chaque groupe tel est fini, réel-primitif,et il contient au plus 1 n(n + 1) paramètres. Si à présent nous fixons un2point réel P 1 en position générale, alors on obtient facilement que lespoints de chaque pseudosphère de centre P 1 généralement située sonttransformés par un groupe qui satisfait tous les axiomes dans R n−1 , etpar conséquent, grâce à l’hypothèse prise pour base, ce groupe peutêtre transformé, via une transformation ponctuelle de R n−1 , soit en legroupe des mouvements euclidiens, soit en l’un des deux groupes demouvements non-euclidiens de cet espace.Il découle de là tout d’abord que G contient précisément 1 n(n+1) 2paramètres. De plus, exactement comme dans le cas n = 4, on peut démontrerque deux points de R n déterminent une pseudodroite. Pour cela,on peut se baser sur les recherches de Monsieur Werner, qui, à l’initiativede Lie, a déterminé les plus grands sous-groupes qui sont contenusdans le groupe projectif d’une variété non-dégénérée du second degrédans l’espace à n > 5 dimensions.