Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 123(ϑ1 (˜x q ) · · · ϑ r (˜x q ) ) au système d’équations linéaires écrit sous forme matricielle:0 ≡ ( ϑ 1 (˜x q ) · · · ϑ r (˜x q ) ) · Ξ q(˜xq),lesquelles sont analytiques près de ˜x 0 q — grâce à une application de la règle deCramer et grâce à la constance du rang — seraient automatiquement solutionsdu système étendu :0 ≡ ( ϑ 1 (˜x q ) · · · ϑ r (˜x q ) ) · (Ξq (˜x q ) Ξ(x (q+1) ) ) ,et donc il existerait des solutions non nulles (ϑ 1 ,... ,ϑ r ) aux équations dedépendance linéaire :0 = ( ϑ 1 · · · ϑ r)· Ξ(x(q+1) )qui seraient constantes par rapport à la variable x (q+1) , puisqu’elles dépendentseulement de ˜x q . Ceci contredirait précisément l’hypothèse queX (q+1)1 ,... ,X r (q+1) sont linéairement indépendants. □Pour terminer, nous pouvons enchaîner une série d’inégalités qui sontmaintenant des conséquences évidentes du Lemme et de l’Assertion :()rang T ∞ Ξ(0) · · · T ∞ Ξ(0) = rangT ∞ Ξ r (0) rang-génériqueΞ r(˜xr) r,et puisque tous ces rangs (génériques) sont en tout cas r, nous obtenonsl’estimation promise :()r = rank T ∞ Ξ(0) · · · T ∞ Ξ(0) ,ce qui achève finalement la démonstration du théorème.Afin de mémoriser le prolongement des transformations au produit de rcopies de l’espace des x 1 ,... ,x n , formulons une proposition qui sera utiliséedans la démonstration du Théorème 24 p. 149.Proposition. Si les r transformations infinitésimales :n∑X k (f) = ξ ki (x 1 ,...,x n ) ∂f(k =1... r)∂x ii=1sont linéairement indépendantes et si de plus :x (µ)1 ,... ,x(µ) n(µ = 1 ...r)sont r systèmes distincts de n variables, et si enfin on pose pour abréger :n∑X (µ)k(f) = i=1ξ ki(x(µ)1) ∂f,... ,x(µ) n∂x (µ)i(k, µ=1...r),□