Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 283par l’action de laquelle la longueur (5) d’un élément courbe reste invariante; à ce sujet, le déterminant des α kν ne doit pas s’annuler et lestermes supprimés sont du deuxième ordre en x, et d’ordre supérieur.Sous les hypothèses posées il est clair que la transformation réduiteissue de (8) :n∑(9) x ′ k = α kν x ν1(k = 1 ···n)doit laisser invariante l’expression différentielle (7). En outre, il estfacile de voir que la transformation (8) est complètement déterminée,aussitôt qu’on connaît la transformation réduite associée (9). La transformationréduite associée (9) indique en effet comment sont transformésles ∞ n−1 éléments linéaires passant par l’origine des coordonnées.Maintenant, une unique ligne la plus courte est dirigée par chaque élémentlinéaire dx 1 : · · · : dx n passant par l’origine des coordonnées etchaque point x 1 . . .x n de cette ligne la plus courte est complètementdéterminé, lorsque, mis à part l’élément linéaire en question, on connaîtaussi sa distance r à l’origine des coordonnées. Si donc l’on sait que parla transformation (8) qui laisse invariante la longueur (5) d’un élémentcourbe, l’élément linéaire : dx 1 : · · · : dx n est transformé en l’élémentlinéaire : dx ′ 1 : · · · : dx ′ n, alors en même temps, la nouvelle positionx ′ 1 . . .x′ n que le point x 1 . . . x n reçoit par la transformation (8), est elleaussi déterminée, car en effet, x ′ 1 . . .x′ n est évidemment le point qui setrouve à la distance r de l’origine des coordonnées sur la ligne la pluscourte dirigée par l’élément linéaire : dx ′ 1 : · · · : dx ′ n.Nous voyons à partir de là que chaque mouvement sans élargissementqui est encore possible après fixation de l’origine des coordonnées,est parfaitement déterminé par la façon dont il déplace les ∞ n−1éléments linéaires passant par l’origine des coordonnées. Si donc nousdemandons que le mouvement le plus général encore possible sans élargissementaprès fixation de l’origine des coordonnées dépende du plusgrand nombre de paramètres, alors cela revient à demander qu’aprèsfixation par le groupe G de l’origine des coordonnées, les éléments linéairespassant par ce point sont transformés par un groupe projectifayant le plus grand nombre possible de paramètres.Si nous rassemblons les résultats acquis, nous pouvons dire :Lorsque Riemann demande qu’il existe une longueur d’élément courbeconstamment positive de la forme (5) et que les figures de l’espacex 1 . . .x n puissent coulisser et tourner librement sans élargissement,il demande avec cela exactement la même chose que lorsqu’on exige