Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 39la plus générale possible qui puisse fournir, en restriction sur les courbesquelconques, la longueur de n’importe quelle ligne tracée dans la multiplicité.Autrement dit, la longueur en un point (x 1 , . . .,x n ) d’un élémentinfinitésimal quelconque (dx 1 , . . ., dx n ) attaché en ce point — que l’onnote habituellement 76 « ds » — est égale à cette fonction pour l’instantinconnue :ds = longueur x (dx)= distance ( x, x + dx )= Ω(x; dx).J’admettrai, en second lieu, que la longueur de l’élément linéaire,abstraction faite des quantités du second ordre, reste invariable, lorsquetous les points de cet élément subissent un même déplacement infinimentpetit, ce qui implique en même temps que, si toutes les quantitésdx croissent dans un même rapport, l’élément linéaire varie égalementdans ce même rapport. [133], p. 286.multiplefinide dxrégionfinie localex dxx+dxK · dxdxdéplacementeuclidien EquelconqueE(dx)∞ · dxvoisinageinfinitésimalde xIci seulement — mais exclusivement à niveau infinitésimal —Riemann utilise l’hypothèse énigmatique d’après laquelle les lignespossèdent une longueur indépendamment de leur position. Ainsi, lalongueur de dx doit être conservée lors de tout déplacement euclidienE qui est restreint à un voisinage infinitésimal de x :longueur(dx) = longueur ( E(dx) ) .Donc dans l’infiniment petit, la métrique recherchée semble être supposéecomme devant être euclidienne, ce qui équivaut à dire — on peutle démontrer — que la métrique est donnée par une forme quadratiquedifférentielle positive. Mais ce serait brûler les étapes et omettre de découvrirde nouveaux noyaux conceptuels possibles dans le graphe problématiqueet virtuel des concepts métriques.76 Cette notation utilisée depuis le 18 ème siècle et reprise par Gauss, réfère à lalongueur d’un élément d’arc infinitésimal d’une courbe tracée dans le plan ou dansl’espace.