Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 29Cette remarque réfère à une tendance naissante des mathématiques dela première moitié du 19 ème siècle : essayer de transférer le langage dela géométrie vers des systèmes analytiques ou algébriques à plusieursvariables ; une telle tendance était connue de Riemann, au moins partiellement,via Gauss ([140], p. 15 sq., 53 sq.). La recherche de généralitéexige de mettre sur pied une théorie des grandeurs étendues quisoit indépendante des déterminations métriques et dans laquelle « on nesuppose rien de plus 61 que ce qui est déjà renfermé dans le concept deces grandeurs ».Éliminer les hypothèses adventices, circonscrire des hypothèsesminimales, et s’en tenir rigoureusement à elles : impératif méthodologiqueriemannien ; principe riemannien de genèse.Dans cette branche générale de la théorie des grandeurs étendues,où l’on ne suppose rien de plus que ce qui est déjà renfermé dansle concept de ces grandeurs, il nous suffira, pour notre objet actuel, deporter notre étude sur deux points, relatifs : le premier, à la générationdu concept d’une multiplicité de plusieurs dimensions ; le second,au moyen de ramener les déterminations de lieu dans une multiplicitédonnée à des déterminations de quantité, et c’est ce dernier point quidoit clairement faire ressortir le caractère essentiel d’une étude de ndimensions. [133], p. 283.Problème inaugural : il s’agit donc de penser, de définir et d’engendrerune notion purement amétrique 62 d’étendue, dont les « quanta » ou« morceaux » d’étendue puissent être envisagés du point de vue de la60 Il s’agit bien sûr des surfaces étalées au-dessus de certaines régions du plancomplexe, ramifiées autour de certains points, et recousues le long de certaines coupuresque Riemann a introduites dans sa dissertation inaugurale. Pour ne pas interromprel’étude proprement philosophique, nous laisserons de côté ces brèves allusionsà l’analyse complexe, au théorème d’Abel concernant les intégrales de fonctions algébriques(voir [80]), et au problème de l’intégration des formes différentielles totales(voir [69]).61 L’exigence ainsi fondée par Riemann de se limiter à des hypothèses minimaless’exprime aussi très explicitement dans son Habilitationsschrift sur les séries trigonométriques.62 Si les moyens mathématiques ou axiomatiques manquent au géomètre pourmesurer les grandeurs spatiales, et s’il est impossible de se déplacer à la manièred’un arpenteur pour déposer chaînes, jalons et équerres sur un hypothétique sol de lagéométrie spatiale abstraite, alors la question du plus grand et du plus petit perd sonsens et son intérêt.