Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

198 Division V. Chapitre 20. § 87.Afin de déterminer aussi ϕ 5 , formons les crochets :[p, x 2 p + ϕ 5 r ] = 2xp + ∂ϕ 5∂x r[q, x 2 p + ϕ 5 r ] ∂ϕ 5=∂y r[yq + cr, x 2 p + ϕ 5 r ] =(y ∂ϕ 5∂y + c ∂ϕ 5∂z)r[xp + r, x 2 p + ϕ 5 r ] = x 2 p +(x ∂ϕ 5∂x + ∂ϕ 5∂zLes trois premières de ces équations montrent que :∂ϕ 5∂x = 2, ∂ϕ 5∂y = ∂ϕ 5∂z = 0,)r.et la dernière donne alors : ϕ 5 = 2x.Par un calcul complètement similaire, on trouve : ϕ 6 = 2 cy. Endéfinitive, nous parvenons donc au groupe :(38)p, q, xp + r, yq + cr, x 2 p + 2xr, y 2 q + 2 cyr(c ≠0).Ici, le paramètre c est manifestement essentiel et ne peut pas être supprimé.La présence des trois transformations infinitésimales : p, q, xp + rmontre que l’origine des coordonnées est un point en position générale.Ce point reste au repos lorsqu’agissent les trois transformations infinitésimales:(39) yq − cxp, x 2 p + 2xr, y 2 q + 2 cyr (c ≠0)du groupe (38). Maintenant comme le déterminant correspondant :−cx y 0(40)x 2 0 2x∣ 0 y 2 2cy ∣ = 2 cx2 y 2 − 2 cx 2 y 2s’annule identiquement, tandis que ses sous-déterminants d’ordre deuxne sont pas tous nuls, nous pouvons en déduire que deux points quelconquesde l’espace des x, y, z ont un et un seul invariant relativementau groupe (38). En fait, on se persuade par un calcul aisé que l’expression:(41) z 1 + z 2 − log(x 2 − x 1 ) 2 − c · log(y 2 − y 1 ) 2