Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

74 2.9. L’approche infinitésimale systématique de Engel et de Liedes (x, y, z) en ce point, et il existe aussi 3 = 6 − 3 autres transformationsinfinitésimales indépendantes s’annulant en ce point qui sont de laforme :Y k = ( α k1 (x − x 0 ) + α k2 (y − y 0 ) + α k3 (z − z 0 ) + · · ·)p++ ( β k1 (x − x 0 ) + β k2 (y − y 0 ) + β k3 (z − z 0 ) + · · ·)q++ ( γ k1 (x − x 0 ) + γ k2 (y − y 0 ) + γ k3 (z − z 0 ) + · · ·)r(k = 123),où par convention, les termes « + · · · » s’annulent à l’ordre au moinsdeux en (x 0 , y 0 , z 0 ). En supprimant purement et simplement tous cesrestes, on obtient trois générateurs (qui peuvent éventuellement devenirlinéairement dépendants) :Y k = ( α k1 (x − x 0 ) + α k2 (y − y 0 ) + α k3 (z − z 0 ) ) p++ ( β k1 (x − x 0 ) + β k2 (y − y 0 ) + β k3 (z − z 0 ) ) q++ ( γ k1 (x − x 0 ) + γ k2 (y − y 0 ) + γ k3 (z − z 0 ) ) r(k = 123),d’un sous-groupe 41 linéaire de GL 3 (R). Ce sous-groupe (dit réduit)détermine de quelle manière les éléments linéaires infinitésimaux(dx, dy, dz) sont transformés par les transformations du groupe quifixent le point (x 0 , y 0 , z 0 ) considéré.Le troisième axiome p. 248 demande que ce sous-groupe d’isotropielinéarisée demeure à trois paramètres. Toutefois, aucune existenced’invariant n’est postulée. Enfin, le quatrième axiome p. 248 demandeque tout sous-groupe à un paramètre de ce groupe linéaire homogèneà trois dimensions soit constitué de mouvements qui agissent périodiquementsur les éléments linéaires passant par l’origine 42 . Plus précisément,pour tout sous-groupe à un paramètre dudit groupe d’isotropie41 Les relations de crochets de Lie [ Y j , Y k]=∑ 3s=1 c jks Y s où les c jks sont desconstantes réelles, sont en effet directement héritées par les transformations réduites :[Y j , Y k]=∑ 3s=1 c jks Y s parce que dans le groupe, il n’existe aucune transformationinfinitésimale s’annulant à l’ordre deux en (x 0 , y 0 , z 0 ).42 En première apparence, cette condition semble donc légèrement plus exigentequ’un axiome de monodromie qui serait formulé au niveau infinitésimal, en tant qu’untel axiome ne devrait porter que sur les sous-groupes à un paramètres qui fixent undeuxième point. Par ailleurs, cette condition est légèrement plus générale, en tant quel’on ne demande pas que l’élément linéaire revienne coïncider exactement avec luimêmeaprès un temps fini : on autorise les dilatations éventuelles.