Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

230 Division V. Chapitre 21. § 92.En cela réside le fait que chaque invariant que possède un systèmequelconque de points : P 1 , P 2 , P 3 . . . relativement à tous les mouvements,doit se laisser exprimer au moyen des invariants des paires depoints qui sont contenues dans le système. Si en effet J est un invariantquelconque que le système de points : P 1 , P 2 , P 3 . . . a relativement àtous les mouvements, alors la fonction J conserve sa valeur numériqueau cours de tous les mouvements. Si maintenant J ne se laissait pasexprimer au moyen des invariants des paires de points : P 1 , P 2 ; P 1 , P 3 ;P 2 , P 3 ; . . . , alors la mobilité du système de points : P 1 , P 2 , P 3 . . . ne seraitpas seulement limitée par le fait que les invariants de ces paires depoints-là devraient conserver leur valeur numérique au cours du mouvement,mais elle serait aussi limitée par la condition indépendante parrapport à celles-là que J doit conserver toujours sa valeur numérique ;mais cela contredirait l’axiome posé ci-dessus.Il suit alors de la première partie du troisième axiome helmholtzienqu’un point n’a absolument aucun invariant relativement à tous lesmouvements et que trois points (ou plus) ne possèdent, relativement àtous les mouvements, que les invariants qui s’expriment au moyen desinvariants des paires de points qui sont contenues en eux ; autrementdit : un point individuel n’a en général aucun invariant ; deux pointsont en tout cas un invariant relativement à tous les mouvements possibles; mais au contraire, trois points (ou plus) n’ont aucun invariantessentiel. Mais comme nous ne savons cependant pas encore si cettepropriété des mouvements peut être substituée entièrement à l’exigencequi est posée dans cette première partie-là, nous devons comme auparavantajouter l’exigence que chaque point P de l’espace mobile est limitédans son mouvement seulement par les invariants qu’il a avec les autrespoints de l’espace mobile.Il reste maintenant encore à discuter de la deuxième partie du troisièmeaxiome helmholtzien (voir p. 221, l. 6–11 ci-dessus).La deuxième partie de l’Axiome III semble au premier coup d’œilne contenir que des conséquences de la première partie, et c’est visiblementainsi que Monsieur de Helmholtz a voulu l’entendre. Il en vacependant tout autrement. Certes les lignes 6–9 expriment seulementdes faits qui sont conséquences immédiates des hypothèses posées précédemment,en particulier les mots : « le premier point . . . mobile » nesont qu’une autre manière d’exprimer le fait qu’un point individuel nepossède aucun invariant. Mais dans les lignes 10 et 11 se glisse unenouvelle supposition qui n’est pas conséquence des précédentes.