Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

174 Division V. Chapitre 20. § 85.De ceci, il résulte en premier lieu que m doit être précisément égalà six. Et il suit en second lieu que les ∞ 2 courbes (13) ne peuvent pastoutes être contenues dans les ∞ 1 pseudosphères de centre x 3 , y 3 , z 3 ,mais que chacune de ces courbes n’a en général qu’un point en communavec chacune de ces pseudosphères 24 , et donc que le système simultané(14) ne peut pas être indépendant de x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 . Ainsi,on a démontré que dans R 3 , il n’existe pas de famille de ∞ 2 courbesqui est constituée de telle sorte que dans toute pseudosphère se trouvent∞ 1 courbes de cette famille. Et maintenant, comme chaque famille de∞ 2 courbes qui remplit complètement R 3 , est représentable 25 , commefamille des courbes caractéristiques de Monge d’une équation linéaireaux dérivées partielles :λ(x, y, z) ∂f ∂f+ µ(x, y, z)∂x ∂y+ ν(x, y, z)∂f∂z = 0,nous pouvons aussi dire ceci : les pseudosphères ne sont pas entièrementsurfaces intégrales d’une même équation linéaire aux dérivéespartielles.(x ′ , y ′ , z ′ ) comme fonctions de (x, y, z) et des 18 paramètres x k , y k , z k , x ′ k , y′ k , z′ k ,k = 1, 2, 3. En général, cela peut donner une représentation des équations finies dugroupe, à ceci près que 18−6 = 9 paramètres sont nécessairement superflus, et que leséquations finies ainsi obtenues peuvent parfois représenter une famille qui ne contientpas l’identité, par exemple si les deux « repères » formés des trois points (x k , y k , z k ) etdes trois autres points (x ′ k , y′ k , z′ k) sont disposés d’une façon spéciale. Effectivement,un groupe de Lie G peut posséder plusieurs composantes connexes, par exemple legroupe des déplacements euclidiens E 3 (R) = E + (R)∪E − (R), suivant que l’orientationest préservée ou inversée. Dans le Chap. 18 du Tome I, Engel et Lie élaborent unethéorie générale des groupes de transformation qui se décomposent en un nombre finide groupes connexes ; seule la composante de l’identité est engendrée, via l’exponentielle,par des transformations infinitésimales X 1 , . . . , X m . Cette stratégie éventuelle :trouver les invariants possibles et en déduire les groupes possibles par le théorème desfonctions implicites, ne sera pas adoptée. En fait, Lie évite généralement d’écrire leséquations finies d’un groupe concret.24 L’indépendance des deux équations (13) lorsque leurs centres sont mutuellementen position générale équivaut à ce que l’intersection des pseudosphères se réduise(en général) à une courbe. Si l’on considère une troisième pseudosphère centréeen un autre point, l’intersection triple devient, grâce à (15) et au paragraphe qui suit,un simple point, ce qui revient à dire que l’intersection de cette pseudosphère avecles ∞ 2 courbes d’intersection entre les deux premières familles de pseudosphères, seréduit à un point.25 Localement, toute famille régulière de courbes se redresse en la famille {x =const., y = const.} des droites parallèles à l’axe des z, et ces droites sont les courbesintégrales de tout champ de vecteurs de la forme ν(x, y, z) ∂ ∂zavec ν ≠ 0.