Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 311par P 1 lui-même, il n’est pas certain depuis le début que la famille descourbes passant par P 1 , qui est déterminée par ces ∞ 3 pseudodroites,est constituée de ∞ 3 courbes différentes.Comme ∞ 3 pseudodroites différentes passant par P sont déterminéeset comme, d’autre part, ∞ 3 éléments linéaires différents passentaussi par P 1 , il y a parmi ces éléments linéaires un certain nombre, i.e.∞ m (0 m 3) qui sont différents, et qui sont constitués de telle sorteque par chacun d’entre eux passent certaines de ces pseudodroites-là,alors qu’aucune telle pseudodroite ne passe par les éléments linéairesrestants. Nous allons démontrer que le nombre m en question est simplementégal à trois.En effet, si P 1 est fixé, alors les pseudodroites passant par P 1 sontéchangeables l’une avec l’autre, et donc la variété des ∞ m éléments linéairesdéfinie à l’instant reste au repos. Comme de plus à chaque pointde la pseudosphère K 1 est associée l’une des pseudodroites passant parP 1 et comme, après fixation de P 1 , chaque point de K 1 peut être encoretransformé en chaque autre, alors, après fixation de P 1 , chacune despseudodroites déterminées passant par P 1 peut aussi être transforméeen chaque autre et par conséquent aussi, chacun des ces ∞ m élémentslinéaires-là peut être transformé en chaque autre. Il découle de là quepar chacun de ces ∞ m éléments linéaires passent ∞ 3−m pseudodroitesdifférentes, et que la pseudosphère K 1 se décompose en ∞ m variétésréelles (3 − m) fois étendues, de telle sorte que chacun de nos ∞ m élémentslinéaires est associé à l’une de ces variétés ; après fixation de P 1 ,ces ∞ m variétés (3 − m) fois étendues sont échangeables l’une avecl’autre. Si maintenant on avait m = 1 ou = 2, alors, après fixation deP 1 , les points de K 1 se transformeraient de manière réelle-imprimitive,ce qui n’est évidemment pas le cas. Si d’un autre côté, on avait m = 0,alors un nombre discret d’éléments linéaires réels passant par P 1 resteraitau repos en même temps que P 1 , et notre groupe G à dix paramètresserait donc réel-imprimitif, alors qu’il doit cependant être réel-primitif.Par conséquent, le nombre m défini plus haut est réellement égal à3, en conséquence de quoi il passe en général par P 1 une pseudodroitedirigée par chaque élément linéaire réel.Ainsi, on a démontré qu’il existe, entre les ∞ 3 éléments linéairesen P 1 et les ∞ 3 points réels de la pseudosphère K 1 , une relation qui entout cas est univoque et réversible [eindeutig umkehrbar] à l’intérieurd’une certaine région et qui reste maintenue par toutes les transformationsde G qui laissent invariant le point P 1 . Si nous nous rappelonsalors qu’après fixation de P 1 , les ∞ 3 éléments linéaires passant par P 1