Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

58 2.4. Les quatre axiomes de Helmholtzpar la théorie des groupes continus, qui montrera comment l’engendrementdu divers déborde l’ontologie naïve des unicités initialementespérées (cf. le Chapitre 20 p. 166 ci-dessous).2.4. Les quatre axiomes de Helmholtz. Helmholtz reconnaît que sonapproche qui consiste à introduire d’emblée la restriction de libre mobilitéde corps rigides dans l’espace embrasse beaucoup moins deconcepts que l’analyse problématisante de Riemann (cf. le Chapitre 1).Toutefois, il semble être embarrassé par l’extrême généralité des considérationsabstraites de Riemann, qu’il préfère envisager comme unetentative de caractériser l’espace euclidien tridimensionnel en recherchantles meilleures hypothèses suffisantes. Ainsi a-t-il étudié de prèsla restriction finale de mobilité introduite par Riemann pour distinguerl’espace physique des autres multiplicités possibles, et il s’est interrogésur la possibilité de placer au fondement de la géométrie ce qu’ilconsidérait comme la conclusion principale de la leçon d’épreuve deRiemann, à savoir : les propriétés de libre mobilité dont Riemann prétendaitqu’elles impliquent la constance de la courbure sectionnelle.En renversant complètement l’ordre de pensée riemannien 11 , Helmholtzprocède donc presque d’une manière purement axiomatique au sensmoderne du terme. Car en effet, au début de son mémoire [76], quatre« axiomes » concernant la notion d’espace 12 , sont explicitement formuléset admis comme hypothèses dans les démonstrations qui suivent.I : Axiome de multiplicité numérique et de continuité desmouvements. Les éléments individuels (points) d’une multiplicité à ndimensions peuvent être spécifiés par la mesure 13 de exactement n grandeursnumériques réelles (x 1 , . . .,x n ). Le mouvement d’un point est représentépar une modification continue, et même suffisamment différentiablesi nécessaire, de ses coordonnées. Tout est essentiellement local,11 Chercher dans l’ouverture, c’est s’élever dans un arbre exponentiel truffé debranchements imprévus et de bifurcations indécises. Prendre connaissance de véritéspar l’axiomatique a posteriori, c’est descendre sans choix dans des branches quicanalisent la pensée.12 En parallèle, le lecteur pourra découvrir la traduction complète en françaisde ces axiomes, reproduits par Engel et Lie dans le § 91 du Chapitre 21, p. 221 cidessous; ensuite, le § 92 p. 223 en offre une formulation mathématique très précise.13 Chez Helmholtz ([34]), les coordonnées ont un sens métrique : elles sont d’embléeaccompagnées d’un étalon d’unité de mesure qui est représenté par la quantité1.