Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

176 Division V. Chapitre 20. § 85.Proposition 1. Si un groupe de transformations ponctuelles de R 3continu et fini est constitué de telle sorte que, relativement à son action,deux points possèdent un et un seul invariant, tandis que s > 2points n’ont pas d’invariant essentiel, alors ce groupe est transitif àsix paramètres et en outre, il ne comprend jamais deux transformationsinfinitésimales dont les courbes intégrales coïncident ; de plus, la familledes pseudosphères relatives au groupe se compose au minimumde ∞ 2 surfaces, et il n’y a pas dans R 3 de famille doublement infinie decourbes qui produisent toutes les pseudosphères existantes.Avant d’aller plus loin, nous voulons encore mettre sous une formeappropriée la condition d’après laquelle deux points ont un et un seulinvariant, relativement à un groupe transitif : X 1 f . . .X 6 f à six paramètres.Tout d’abord, il sort de la condition susnommée que les six équationslinéaires aux dérivées partielles (16) possédent une et une seulesolution commune, et donc que parmi ces équations, il doit s’en trouverexactement cinq 29 qui sont indépendantes les unes des autres. Parailleurs, comme le groupe : X 1 f . . .X 6 f est transitif, on aura parexemple que : X 1 f, X 2 f, X 3 f ne sont liés par aucune relation linéairehomogène, tandis que : X 4 f, X 5 f, X 6 f se laissent exprimer de manièrelinéaire 30 et homogène au moyen de : X 1 f, X 2 f, X 3 f, à savoir :(17) X 3+k f ≡ ∑1j3ϕ kj (x, y, z) X j f (k = 1, 2,3).29 Si l’on note X k = ∑ 3i=1 ξ ki(x) ∂∂x i, pour k = 1, . . .,6, les six équations (16)d’inconnues des fonctions J = J(x, y, z; x 1 , y 1 , z 1 ) s’écrivent∑ 3i=1 ξ ki(x, y, z) ∂J∂x i+ ∑ 3i=1 ξ ki(x 1 , y 1 , z 1 ) ∂J∂x 1i= 0 (k =1··· 6).L’hypothèse qu’elles possèdent une seule solution équivaut à ce que le rang génériquede la matrice 6 × 6 :⎛⎝ ξ 11(x, y, z) · · · ξ 13 (x, y, z) ξ 11 (x 1 , y 1 , z 1 ) · · · ξ 13 (x 1 , y 1 , z 1 )·· · · · ·· ·· · · · ··ξ 61 (x, y, z) · · · ξ 63 (x, y, z) ξ 61 (x 1 , y 1 , z 1 ) · · · ξ 63 (x 1 , y 1 , z 1 )soit égal à cinq. La suite des raisonnements explore cette hypothèse.30 — à coefficients non constants, le terme « linéaire » ne possédant pas ici le sensmoderne —⎞⎠