Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 237le premier d’entre eux est fixé, le second peut occuper encore toutes lespositions : y 1 . . .y n qui satisfont les équations :(13) J ( x 0 1 . . .x0 n ; y 1 . . .y n)= J(x01 . . .x 0 n ; y0 1 . . .y0 n),où il est supposé que depuis y 0 1 . . .y 0 n vers y 1 . . .y n , une transitioncontinue qui ne comporte que des systèmes de valeurs réelles satisfaisant(13), est possible.À cela s’ajoute maintenant encore le quatrième axiome helmholtzien,que nous n’avons encore pas pris en considération jusqu’à présent,celui qu’on appelle souvent l’Axiome de monodromie. Nous pouvonsmaintenant lui donner la version suivante :E) Si, à l’intérieur de la région introduite ci-dessus, on fixe n − 1points mutuellement en position générale qui sont choisis de telle sortequ’ils ne restent au repos simultanément que par l’action d’un groupeà un paramètre de mouvements, et si Xf est la transformation infinitésimalede ce groupe à un paramètre, alors les équations finies correspondantes:(14) x ′ ν = x ν + t 1 X x ν + t21 · 2 XX x ν + · · · (ν = 1 ··· n)doivent être constituées de telle sorte que, si t croît toujours à partir dela valeur nulle, tous les autres points : x 1 . . . x n de la région reviennentfinalement tous en même temps à leur position initiale. Brièvement, ilest demandé que les équations (14) représentent un mouvement qui aune période réelle.§ 94.Critique des conclusionsque Monsieur de Helmholtz tire de ses axiomes.Dans les précédents paragraphes, nous avons donné aux axiomeshelmholtziens une version qui fait ressortir clairement le caractère« théorie des groupes » qu’a le problème dans son ensemble. Nous voulonsmaintenant examiner d’une manière critique les conséquences queMonsieur de Helmholtz a tirées de ses axiomes. Afin de pouvoir effectuercela de la manière la plus commode possible, nous traduisons toutd’abord ces conséquences dans le langage de la théorie des groupes,autant qu’il est possible. Comme Monsieur de Helmholtz s’est restreintdans sa recherche à l’espace de dimension trois, nous faisons naturellementde même.