Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

122 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètreSupposons que u = (u 1 ,... ,u q ) ∈ C q est un vecteur quelconque dansle noyau de T ∞ A(0), à savoir : 0 = u ·T ∞ A(0), c’est-à-dire avec des indices :0 = u 1 · a 1jα + · · · + u q · a qjα (j = 1 ... m; α ∈ N n );nous déduisons alors immédiatement, après avoir multiplié chaque telle équationpar x α et après avoir sommé sur tous les α ∈ N n que :0 ≡ u 1 · a 1j (x) + · · · + u q · a qj (x) (j = 1 ... m),de telle sorte que le même vecteur constant u = (u 1 ,... ,u q ) satisfait aussi 0 ≡u ·A(x). Il en découle que la dimension du noyau de T ∞ A(0) est inférieure ouégale à la dimension du noyau de A(x) (en un point générique x) : ceci coïncideclairement avec l’inégalité entre rangs (génériques) écrite ci-dessus. □Maintenant, pour tout q = 1,2,... ,r, nous voulons appliquer le lemmeavec la matrice A(x) égale à :(Ξ(x (1) ) ( Ξ(x (2) ) · · · Ξ(x (q) ) ) ,c’est-à-dire égale à :⎛⎞) ξ (1)⎜11 · · · ξ (1)1n ξ (2)11 · · · ξ (2)1n · · · · · · ξ (q)11 · · · ξ (q)1n⎟Ξ q(˜xq := ⎝ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⎠,ξ (1)r1 · · · ξ rn (1) ξ (2)r1 · · · ξ rn (2) · · · · · · ξ (q)r1 · · · ξ rn(q)où nous avons abrégé :˜x q := ( x (1) ,... ,x (q)) .Assertion. C’est une conséquence du fait que X 1 ,X 2 ,...,X r sont linéairementindépendants que pour tout q = 1,2,... ,r, on a :(rang-générique Ξ ( x (1)) Ξ ( x (2)) · · · Ξ ( x (q))) q.Preuve. En effet, pour q = 1, il est en premier lieu clair que :rang-générique ( Θ(x (1) ) ) 1,puisque l’un au moins des ξ ki (x) ne s’annule pas identiquement. Établissonsensuite par récurrence que, aussi longtemps qu’ils restent < r, les rangs génériquesaugmentent au moins d’une unité à chaque pas :( )rang-générique Ξ q+1(˜xq+1 ) ( ) 1 + rang-générique Ξ q(˜xq ) ,une propriété qui concluera visiblement la preuve de l’Assertion.En effet, si au contraire les rangs génériques se stabilisaient lorsqu’onpasse de q à q + 1, tout en restant demeuraient < r, alors localement auvoisinage d’un point générique, fixé ˜x 0 q+1 , les deux matrices Ξ q+1 et Ξ qauraient le même rang, localement constant. Par conséquent, les solutions