Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 273Mais puisque d’après notre hypothèse, le Théorème 43 est validedans l’espace n fois étendu R n ′ , le groupe g′ est alors à 1 n(n + 1) paramètreset peut être rapporté, via une transformation projective réelle2de R n, ′ à une forme telle qu’il laisse invariante la variété imaginaire dusecond degré :x ′ 12 + x ′ 22 + · · · + x ′ n2 + 1 = 0.Par conséquent, le groupe g est aussi à 1 n(n + 1) paramètres et il peut2être rapporté, via une transformation linéaire homogène réelle des différentielles: dx 1 . . .dx n+1 , à une forme telle qu’il laisse invariante lavariété imaginaire des M 1 -éléments qui est représentée par l’équation :(4) dx 2 1 + · · · + dx2 n + dx2 n+1 = 0.Si nous revenons maintenant au groupe G, nous reconnaissonsqu’après fixation de P , les ∞ n M 1 -éléments réels sont transformés de1n(n + 1) manières différentes par ce groupe, et pour préciser, de telle2sorte qu’une certaine variété imaginaire du second degré constituée deM 1 -éléments reste invariante. Si en particulier nous nous imaginons quele point P est transféré sur l’origine des coordonnées par une transformationponctuelle réelle, nous pouvons toujours parvenir, grâce à unetransformation linéaire homogène réelle en les variables x 1 . . . x n+1 , àce que cette variété imaginaire soit représentée par l’équation (4).Enfin, on doit encore remarquer que G est à 1 (n+1)(n+2) paramètres.Si nous fixons en effet le point P , alors les paramètres de G sont2soumis à n+1 conditions, puis, si nous fixons tous les ∞ n M 1 -élémentsréels passant par P , les paramètres de G sont soumis à 1 n(n+1) conditionssupplémentaires, car ces ∞ n M 1 -éléments se transforment, après2fixation de P , précisément de 1 n(n+1) manières différentes. Et maintenant,comme aussitôt que sont fixés P ainsi que tous les M 1 -éléments2réels passant par lui, tous les M 2 -, M 3 -, . . .M n -éléments réels passantpar P demeurent en même temps au repos, en conséquence de quoiplus aucun mouvement continu n’est encore possible, alors le nombrede paramètres de G doit être simplement égal à :n + 1 + n(n+1)1 ·2= (n+1)(n+2)1 ·2.À présent, il est facile de déterminer G.Si en effet nous nous imaginons les variables x 1 . . . x n+1 choisiescomme ci-dessus, donc en particulier de telle sorte que P soit l’originedes coordonnées, alors, dans le voisinage de l’origine des coordonnées,