Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

140 3.8. Équations de structureMaintenant, comme le déterminant des ˜ψ sµ ne s’annule pas identiquement,les fonctions ϑ kjs sont complètement déterminées par ces dernièreconditions, et il en découle que les ϑ kjs peuvent seulement dépendre dea 1 , . . .,a r , c’est-à-dire qu’elles sont en tout cas libres de x ′ 1, . . .,x ′ n.Mais on se convainc aussi aisément que les ϑ kjs sont aussi libres dea 1 , . . .,a r : en effet, si dans la première série d’identités (5), on considèreF comme une fonction arbitraire des seules variables x ′ 1, . . .,x ′ n,alors on obtient par différentiation par rapport à a µ les identités suivantes:0 ≡r∑s=1∂ϑ kjs∂a µX ′ s (F)(k, j, µ=1···r).Mais puisque X 1 ′(F), . . ., X′ r (F) sont des transformations infinitésimalesindépendantes, et puisque de plus, les ∂ϑ kjs∂a µne dépendent pasde x ′ 1, . . .,x ′ n, toutes les dérivées partielles ∂ϑ kjs∂a µs’annulent identiquement; autrement dit, les ϑ kjs sont aussi libres de a 1 , . . .,a r : ce sont desconstantes numériques, comme annoncé.□En particulier, ce théorème peut maintenant être immédiatementappliqué à tous les groupes à r paramètres qui contiennent la transformationidentité.Théorème 22. ([40], p. 150) Entre les r transformations infinitésimales:X k := ∂f 1(x; e) ∂ + · · · + ∂f n ∂(x; e)(k = 1 ··· r)∂a k ∂x 1 ∂a k ∂x nd’un groupe de transformations ponctuelles locales x ′ = f(x; a) quicontient l’élément identité e, il existe des relations par paires de laforme :(X k Xj (f) ) (− X j Xk (f) ) r∑= c kjs X s (f),s=1où les c kjs ∈ C sont des constantes numériques.En particulier, si un groupe continu de transformations contientdeux transformations infinitésimales :n∑X(f) = ξ i (x 1 , . . .,x n ) ∂fn∑, Y (f) = η i (x 1 , . . ., x n ) ∂f ,∂x i ∂x ii=1i=1alors il contient aussi la transformation infinitésimale :X ( Y (f) ) − Y ( X(f) ) .