Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 303linéaires réels passant par P aux points réels d’un plan, alors g se transformeen un groupe projectif réel g à trois paramètres de ce plan, et pourpréciser, en un groupe par l’action duquel aucun point réel ne reste invariant.Mais d’après les pages 106 et 384, chaque tel groupe g est semblable,via une transformation projective réelle du plan, soit au groupeprojectif réel d’une conique non-dégénérée qui est représentée par uneéquation réelle, soit au groupe :p, q, y p − x q + c (x p + y q).Par conséquent, g laisse invariante soit une conique non-dégénérée dusecond degré formée d’éléments linéaires qui est représentée par uneéquation réelle, soit il laisse invariant un élément de surface réel et danscet élément, deux éléments linéaires conjugués.Lorsque le deuxième cas se produit, à chaque point réel en positiongénérale est associé par G un élément de surface réel invariant passantpar ce point, donc G laisse invariante une équation de Pfaff réelle, quinaturellement, à cause de la primitivité de G, ne doit pas être intégrable.Si nous nous imaginons cette équation rapportée à la forme : dz − ydxpar une transformation ponctuelle réelle de R 3 , alors G se transformeen un groupe réel à six paramètres G ′ , par l’action duquel l’équation :dz − ydx = 0 reste invariante. De plus, nous pouvons faire en sorte,via une transformation ponctuelle réelle à travers laquelle l’équationde Pfaff en question reste invariante, que l’origine des coordonnées :x = y = z = 0 soit un point de position générale relativement à l’actionde G ′ (voir le Tome II, p. 402 sq.).Si nous fixons l’origine des coordonnées, alors l’élément de surface: dz = 0 reste invariant, ainsi que deux éléments linéaires imaginairesconjugués contenus en lui ; nous pouvons toujours, via une transformationréelle à travers laquelle l’origine des coordonnées et l’équation: dz − ydx = 0 restent invariantes, transformer ces deux élémentslinéaires en les éléments linéaires :(7) dz = dx + idy = 0, d¯z = dx − idy = 0.Maintenant, puisque G ′ est transitif, et puisque, après fixation de l’originedes coordonnées, les éléments linéaires passant par l’origine sonttransformés par l’action d’un groupe à trois paramètres, G ′ doit contenirtrois transformations infinitésimales du premier ordre en les x, y, zdans le voisinage de l’origine des coordonnées, mais au contraire, aucunetransformation du second ordre, ou d’un ordre supérieur. Mais parailleurs, nous connaissons toutes les transformations infinitésimales quilaissent invariante l’équation : dz−ydx = 0 et qui sont du premier ordre