Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 179s’annule identiquement, sans que tous ses sous-déterminants d’ordredeux s’annulent 35 .En utilisant le critère qui est contenu dans cette proposition, nouspouvons maintenant déduire encore une autre propriété importante desgroupes recherchés ; toutefois, cette propriété n’est possédée que parceux de ces groupes qui sont imprimitifs.Étant donné un groupe imprimitif à six paramètres ayant la constitutiondemandée, il peut donc arriver que ce groupe laisse invariante unefamille de ∞ 1 surfaces : ω(x, y, z) = const. Si ce cas se produit, nouspouvons toujours nous imaginer que les variables x, y, z sont choisiesde telle sorte que la famille de surfaces invariantes est représentée parl’équation : x = const. ; le groupe en question est ensuite de la forme 36 :X k f = ξ k (x) p + η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r (k =1···6),où ξ 1 . . . ξ 6 ne s’annulent de toute façon pas tous, parce que sinon, legroupe serait intransitif 37 .En principe [an und für sich], trois cas seulement sont a prioriimaginables : en effet, d’après 38 le Théorème 1, p. 6, le groupe :X 1 f . . .X 6 f peut transformer les surfaces : x = const. de une, deuxou trois manières différentes [dreigliedrig transformiren] ; nous allonscependant démontrer ici que seul le troisième cas se produit.Si les surfaces : x = const. se transformaient seulement d’une manière,on pourrait, d’après le théorème cité à l’instant choisir la variablex de telle manière que chaque ξ k (x) p prenne la forme : a k p. Si l’onavait maintenant par exemple a 1 ≠ 0, on pourrait introduire comme35 Intuitivement, le sous-groupe à trois paramètres Y 1 , Y 2 , Y 3 qui fixe un pointdonné déplace encore transitivement tous les autres points sur la pseudosphère à laquelleils appartiennent. Ces pseudosphères représentent donc les seules familles desous-variétés invariantes par l’action du sous-groupe Y 1 , Y 2 , Y 3 , et par conséquent,puisqu’elles sont de codimension 1, d’après une propriété générale, le rang génériquede la matrice 3 × 3 des coefficients de Y 1 , Y 2 , Y 3 doit être égal à 3 − 1 = 2.36 Le groupe stabilise les hyperplans {x = const.} si et seulement si le coefficientξ k de p dans chaque X k ne dépend que de x.37 Si tous les ξ k (x) étaient identiquement nuls, la direction p manquerait.38 Ce théorème, le premier du Tome III, énonce que tout groupe de transformationscontinu fini de la droite des x est de dimension 3, et est équivalent soit à ∂ x(groupe des translations), soit à ∂ x , x∂ x (groupe affine), soit à ∂ x , x∂ x , x 2 ∂ x (groupeprojectif).