Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 203de telle sorte que L doit être nul, tandis que M ne peut naturellement pass’annuler, sinon q et xq auraient les mêmes courbes intégrales. En introduisant1 z comme nouvelle variable z, on peut faire que la constanteMM soit simplement égale à 1.Enfin, formons les crochets :[p, x 2 p + xyq + ϕ 5 r ] = 2xp + yq + ∂ϕ 5∂x r[q, x 2 p + xyq + ϕ 5 r ] = xq + ∂ϕ 5∂y r[xq + yr, x 2 p + xyq + ϕ 5 r ] =(x ∂ϕ )5∂y − xy r[2xp + yq, x 2 p + xyq + ϕ 5 r ] = 2(x 2 p + xyq) +(2x ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ )5r,∂yà partir desquels nous trouvons :∂ϕ 5∂x = c, ∂ϕ 5∂y = y2x ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ 5∂y = 2cx + y2 = 2 ϕ 5 + K,où cependant la constante K peut être simplement réduite à zéro. Ainsi,nous sommes parvenus au groupe :{p, q, r, 2xp + yq, xq + yr(51)x 2 p + xyq + ( 1 2 y2 + cx) r.Puisque les transformations infinitésimales p, q, r sont présentes,le point x = y = z = 0 est à nouveau un point en position générale. Lestransformations infinitésimales du groupe (51) qui laissent invariant cepoint sont :2xp + yq, xq + yr, x 2 p + xyq + ( 1 2 y2 + cx) r,et le déterminant correspondant :2x y 00 x y∣ x 2 1xy2 y2 + cx ∣a la valeur :x 2 y 2 + 2cx 3 − 2x 2 y 2 + x 2 y 2 = 2cx 3 ,qui ne s’annule donc identiquement que lorsque la constante c a la valeurzéro, tandis que les sous-déterminants d’ordre deux ne s’annulent