Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

suivante :Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 305x 2 + y 2 + · · · , yz + β 3 (x, y) + · · · , xz + α 3 (x, y) + · · · ,où α 3 et β 3 sont certaines fonctions entièrement homogènes de degrétrois par rapport à x et à y, et où les termes supprimés sont à chaquefois d’un rang en x, y, z qui est supérieur à celui des termes qui sontécrits (voir le Tome II, p. 526 sq. et p. 532 sq.). Mais maintenant, G ′doit nécessairement contenir aussi la transformation infinitésimale dontla fonction caractéristique possède la forme :(11) { yz+β 3 +· · · , xz+α 3 +· · ·} = z 2 +λ 2 (x, y) z+λ 4 (x, y)+· · · ,où nous entendons par λ 2 et par λ 4 des fonctions entièrement homogènesde degré 2 et 4 par rapport à x et y (loc. cit., p. 321 et p. 526 sq.).La seule transformation infinitésimale dont la fonction caractéristiquepossède la forme (11) serait du second ordre en x, y, z, alors que G ′ necontient cependant absolument aucune transformation infinitésimale dusecond ordre. Par conséquent, nous parvenons au résultat qu’il n’y a pasdu tout de groupe G ′ à six paramètres ayant la constitution considéréeici, et donc que le deuxième des deux cas distingués à la page 303 nepeut pas du tout se réaliser.Si l’on veut éviter les calculs avec les fonctions caractéristiques, on peutaussi procéder de la manière suivante : G ′ laisse invariante l’équation de Pfaff :dz − ydx = 0 et, quand on fixe un point réel en position générale, alors deuxéléments linéaires imaginaires conjugués restent au repos dans l’élément linéaireque l’équation : dz − ydx = 0 attache à ce point. Il découle de làque G ′ , interprété comme groupe de transformations de contact du plan x,z,laisse invariantes deux équations différentielles ordinaires conjuguées du secondordre. Ainsi, grâce à une transformation de contact (imaginaire) du plan,nous pouvons parvenir à ce que les courbes intégrales de l’une de ces deuxéquations différentielles soient transformées en les points du plan. Nous pouvonsdonc nous supposer les variables x,y,z choisies depuis le début de tellesorte que G ′ , interprété comme groupe de transformations de contact du planx,z, ne consiste qu’en des transformations ponctuelles prolongées, et qui enoutre laisse invariante encore une équation différentielle ordinaire du secondordre. Mais maintenant, nous avons vu à la page 76 que chaque groupe continufini de transformations ponctuelles du plan qui laisse invariante une équationdifférentielle ordinaire du second ordre est semblable, via une transformationponctuelle, à un groupe projectif du plan. Par conséquent, nous pouvonsadmettre que G ′ , lorsqu’en général il existe, provient par prolongation d’ungroupe projectif du plan à six paramètres ; avec cela, nous n’avons naturellementpas besoin de considérer comme différents l’un de l’autre deux groupesprojectifs qui, à l’intérieur du groupe projectif général, sont conjugués l’un à