Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 293solution : Ω(y 1 . . .y n ) indépendante de tous les x, et alors il est visibleque l’expression :n∑ ∂Ω(x 1 . . . x n )x ′ τ∂x ττ=1est une solution commune des équations (3) qui n’est pas indépendantede tous les x ′ .Il découle de là que les deux points infiniment voisins x ν etx ν +dx ν ont toujours un invariant relativement au groupe X 1 f . . . X r f,aussitôt que les deux points x ν et y ν en ont un, et la véracité de notreThéorème 44 est donc démontrée pour tous les groupes continus finis.Jusqu’à présent, pour la démonstration du Théorème 44, nous noussommes limités aux groupes continus finis, mais il n’est pas difficile devoir que notre démonstration s’applique en général à tous les groupescontinus finis ou infinis qui sont constitués de transformations infinitésimales.Si en effet Xf est la transformation infinitésimale générale d’ungroupe et si Y f a la même signification que ci-dessus, alors les deuxpoints x ν et y ν ont un invariant relativement à ce groupe si et seulementsi, dans la collection de toutes les équations :Xf + Y f = 0ne sont pas contenues plus que 2n −1 équations qui sont indépendantesles unes des autres. Et si cette condition est remplie, alors dans la collectionde toutes les équations :n∑{ n∑ }∂ξ ν (x) ∂fXf +x ′ τ = 0,∂xν=1 τ=1 τ ∂x ′ νsont contenues au maximum 2n−1 équations qui sont indépendantes lesunes des autres, et par suite, les deux points x ν et x ν +dx ν ont sûrementun invariant.Avec cela, notre théorème est démontré en général.On sait déjà que les deux points x ν et y ν finiment éloignés l’un del’autre ont, relativement à un groupe continu donné, l’invariant Ω(x, y),et ceci soulève donc la question de savoir si l’on ne peut pas déduire deΩ un invariant pour deux points infiniment voisins x ν et x ν +dx n u ; carces deux points ont un invariant, comme il suit du Théorème 44. Nousne voulons pas nous engager en plus pour répondre à cette question,mais seulement mentionner que l’invariant cherché pour les deux pointsx ν et x ν +dx ν peut toujours être indiqué simplement quand l’expression