Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Préface au livre de Joël Merkerixnécessaire de développer d’autres mathématiques à côté de celles quil’ont été. Dans nombre d’endroits de son analyse, l’auteur entrant dansla pensée de Lie en fournit précisément d’autres prolongements, qui effectuentdes trajectoires nouvelles, laissant voir ce que cette créationnouvelle appelle.Il n’y a donc pas, redisons-le, de théorie morte, parce qu’il n’ya pas au cours de l’histoire de théorie qui s’isolerait de l’ensemble desthéories mathématiques. D’où ces retours maintes fois notés dans la pratiquemathématique de méthodes réactualisées. Un résultat sédimentéest repris dans l’horizon du système ouvert de médiations possibles danslequel est offerte toute idéalité ([26], p. 112).De plus, un travail comme celui-ci met en évidence deux caractéristiquesconceptuelles essentielles du corpus mathématique : sa puissancearchitectonique. C’est sans doute un des faits saillants de l’histoiredes mathématiques du 20 ème siècle d’avoir traité cette architectoniquecomme telle (Grothendieck, H. Cartan, Serre par exemple), ce quise vérifie dans les nouvelles structures, les chemins transversaux, les trajectoiresinter-disciplinaires, les nouvelles unités disciplinaires que lesœuvres ont fait apparaître, et en même temps son aspect labyrinthique,c’est-à-dire le fait que des résultats un temps silencieux puissent ressurgirpar des voies imprévues, des théorèmes se trouver redémontrésdans un autre cadre et acquérir de nouvelles significations. De nouvellescontemporanéités sont mises en place.Le plus souvent, la philosophie des mathématiques officielle laissemalheureusement échapper ces faits qui sont de ceux qui parlent le plusaux mathématiciens. Je choisis par exemple la manière dont Grothendieck,reprenant l’analogie constatée entre la théorie de Galois algébriqueet la topologie algébrique de Poincaré (théorie des revêtementset groupe de Poincaré), construit le concept de cette analogie à traversla théorie des catégories et invente la théorie du foncteur fibre.Aux historiens des mathématiques. Il est d’une évidence cruelle quetoute élaboration philosophique ou mathématique portant sur un textehistoriquement daté doit se soumettre au critère de son historicité, siun tel critère existe ; s’il n’existe pas, il faut le faire surgir. L’histoiresuppose de ce point de vue que l’on puisse produire une mise à distancesuffisante du texte à l’étude, pour en discerner la spécificité. Ledépaysement construit de la sorte se propose toujours comme objectifde ressaisir les formes mathématiques qui ont donné sens au résultatdont on construit l’histoire.