Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

308 Division V. Chapitre 23. § 103.l’autorisent les équations par lesquelles il est lié avec les points fixés ; àcet effet, c’est même son axiome de monodromie qui se présente.Soit à nouveau G un groupe quelconque qui satisfait nos axiomes.La variété passant par le point : x 0 1 . . .x 0 4 qui est définie par l’équation(12), nous l’appelerons naturellement encore une pseudosphère decentre : y1 0 . . .y0 4 relative à G. Notre Axiome III exprime ensuite qu’engénéral, les pseudosphères sont des variétés réelles trois fois étendueset qu’une pseudosphère ne passe jamais par son centre.On peut maintenant démontrer, exactement comme dans le précédentparagraphe, que G est transitif, et que deux points finiment éloignésl’un de l’autre : x 1 . . .x 4 et : y 1 . . .y 4 ont un et un seul invariant :Ω(x, y) relativement à G. Il découle alors immédiatement de là quel’équation (12) peut être ramenée à la forme :(14) Ω ( x 1 . . .x 4 ; y 0 1 . . .y0 4)= Ω(x01 . . . x 0 4 ; y0 1 . . .y0 4).Nous ne devons donc pas nous attarder plus longtemps sur ce sujet.De même, la démonstration que G est réel-primitif se présentepresque exactement comme au § 102. Parmi les pseudosphères decentre : y 0 1 . . .y 0 4, il y en a seulement un nombtre discret qui ne sont pasdes variétés réelles à trois dimensions, mais qui sont seulement deuxfois ou une fois étendues, voire même se réduisent à un point. Commepar ailleurs aucune pseudosphère ne passe par son centre, alors aprèsfixation du point : y 0 1 . . .y 0 4, il est certain qu’aucune variété ponctuellepassant par ce point ne peut rester au repos. Par conséquent, G doit êtreréel-primitif.Enfin, exactement comme au § 102, on peut aussi démontrer queG est fini, et pour préciser, qu’il a au plus six paramètres.Si en effet P 1 . . .P 4 et P sont cinq points mutuellement en positiongénérale, alors les quatre pseudosphères de centres P 1 . . .P 4 passant parP ne peuvent se couper qu’en P ; car si elles se coupaient en une variétéM passant par P qui ne consistait pas seulement en le point P , alorstoutes les pseudosphères passant par P se couperaient généralement enla variété M, par suite de quoi M resterait aussi en même temps aurepos après fixation de P , ce qui est exclu. Si maintenant nous fixonsles quatre points P 1 . . .P 4 , alors P ne peut visiblement se mouvoir quesur l’intersection des pseudosphères centrées en P 1 . . .P 4 qui passentpar P , et puisque cette intersection consiste seulement en le point P luimême,P doit rester au repos, et parce que P est un point en positiongénérale, chaque point de l’espace reste en même temps généralement