Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 279de l’expression :∑1...nµ ν[ ∂ 2 Ω∂x µ ∂x ν]x=x 0 dx µ dx νque par un facteur constant dépendant de x 0 1 . . .x 0 n, et par conséquentla longueur d’un élément courbe en un point quelconque x 1 . . .x n estdéterminée par une équation de la forme :(5) ds 2 =∑1...nµ να µ ν (x 1 . . .x n ) dx µ dx ν ,où les α µν sont des fonctions réelles dont le déterminant ne s’annule pasidentiquement, et où le membre de droite est une fonction constammentpositive de dx 1 . . .dx n pour des valeurs générales de x 1 . . .x n .Nous avons restitué la dérivation de l’expression de la longueurd’un élément courbe d’une manière détaillée, parce qu’elle est d’un intérêtparticulier, notamment via l’introduction d’une fonction distance.L’expression trouvée pour la longueur d’un élément courbe permetd’utiliser le calcul des variations, et on obtient qu’entre deux points quise trouvent à l’intérieur d’une certaine région, une et une seule ligne laplus courte est possible et qu’elle se trouve entièrement à cette région.De plus, il est clair que par chaque point x 1 . . .x n , il passe une uniqueligne la plus courte contenant un élément linéaire : dx 1 : . . . : dx n donnépassant par ce point.Riemann considère maintenant un M 2 -élément quelconque passantpar un point quelconque x 1 . . .x n , et il s’imagine les lignes les pluscourtes qui passent par chacun des ∞ 1 éléments linéaires de ce M 2 -élément. La variété deux fois étendue ainsi engendrée est uniquementdéterminée par le M 2 -élément choisi, et sa mesure gaussienne de courbureau point x 1 . . . x n a une valeur entièrement déterminée. La valeurde cette mesure gaussienne de courbure, qui dépend seulement de laforme indiquée (5) de la longueur d’un élément courbe, Riemann l’appellela « mesure de courbure [Mass der Krümmung] » que l’espace nfois étendu, muni de la longueur (5) d’un élément courbe, possède aupoint x 1 . . . x n dans la direction du M 2 -élément choisi. Il affirme de surcroîtque réciproquement, la longueur (5) d’un élément courbe d’un espacen fois étendu est en général complètement déterminée, aussitôt quela mesure de courbure est donnée en chaque point dans les directions de12 n(n − 1) M 2-éléments qui sont mutuellement en position générale.