Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

26 1.13. La méthode des plus petits changements conceptuelsChangement (ou complétion) des concepts qui soit le plus petitpossible [. . .] 54 [142], p. 433.Très certainement, cette pensée est directement inspirée d’une formuleaphoristique de Herbart que Riemann recopie en l’extrayant de soncontexte, et que nous encadrons aussi, vu son importance.La méthode des relations est la méthode des plus petits changements 55 .Resserrer les transitions conceptuelles, c’est tendre vers une plus grandecontinuité de la pensée 56 . L’ objectif affirmé est de compléter par éliminationtoutes les différences, distorsions, sauts, fossés, etc. Dans leurexposition très systématique de la théorie des groupes de transformations,Engel et Lie mettront à exécution ce principe fondamental queRiemann n’avait pas eu le temps de développer.À un niveau « méta-mathématique », ce qui est désigné parRiemann dans la généralité la plus grande comme transition (continue)entre concepts est susceptible de se réaliser comme connexion, commehiérarchisation, comme sériation, comme interdépendance, commenécessité, comme suffisance, ou enfin, terme ultime du resserrementde la continuité conceptuelle, comme équivalence, c’est-à-dire commenécessité et suffisance. Tous les liens dynamiques entre concepts,axiomes et hypothèses recouvrent ainsi des distinctions en extension eten généralité qui les inscrivent dans un graphe de transitions ouvertessur un horizon de continuité potentielles.54 Möglichst geringe Veränderung (oder Ergänzung) der Begriffe.55 Die Methode der Beziehungen ist die Methode der kleinsten Veränderungen.56 À la fin de la première partie des Fragmente philosophischen Inhalts intituléeZur Psychologie und Metaphysik, Riemann évoque la méthode des limites introduitepar Newton pour fonder le calcul infinitésimal, et il exprime spontanément une extension(par analogie) de cette méthode à la recherche d’une continuité dans la détermination— primitivement discontinue — des concepts. La méthode de Newton, écritRiemann, « consiste en ceci : au lieu de considérer une transition continue d’une valeurd’une grandeur à une autre, d’une position à une autre, ou plus généralement d’unmode de détermination d’un concept [von einer Bestimmungsweise eines Begriffes]à un autre, on considère d’abord une transition par un nombre fini d’étapes intermédiaires,puis on permet au nombre de ces degrés intermédiaires d’augmenter, de tellesorte que les distances entre deux degrés intermédiaires consécutifs diminuent toutesà l’infini » ([132], p. 487 ; nous soulignons). Cette « continuification » des conceptsqui se trouve — comme pour le calcul infinitésimal — à la limite du représentable,n’est pas directement accessible à notre réflexion, mais on peut s’imaginer qu’il soitpossibler de passer d’un système conceptuel à un autre par une simple modificationdans les grandeurs relatives, de telle sorte que le système reste stable et inchangé dansla transition vers la limite du continu.